Обработка ряда прямых наблюдений, содержащих случайные погрешности и получение результата наблюдений

Пусть n – число измерений случайной величины X

Методы обработки различны, в зависимости от числа измерений n.

Ряд наблюдений – это последовательность значений случайной величины: X₁, X₂, X₃, … , X_n .

Методика обработки результатов наблюдений для n > 40

1) Необходимо выявить промахи (грубые ошибки в результатах, которые явно выбиваются из общего ряда). Для этого есть специальные методики. Эти цифры изымаются.

2) Осуществляется ранжирование значений. X_MIN – на первое место; X_MAX – на последнее место.

3) Ищем среднее значение случайной величины X (или, осуществляем оценку математического ожидания)

4) Оцениваем СКО (среднеквадратичное отклонение)

5) Построение гистограммы (это функция, приближающая плотность вероятности некоторого распределения, построенная на основе выборки из него)

Интервал для деления оси абсцисс на графике-гистограмме выбирается по следующей формуле

P * m₃

m5

m₂ m₄

m₁

ΔX

ΔX

ΔX

ΔX

ΔX

X_MIN I II III IV X_MAX

m_i – частота попадания случайной величины в интервал.

6) По виду гистограммы с помощью критериев согласия (параметрических и непараметрических) выдвигают гипотезу по поводу закона распределения и проверяют её.

Чаще всего используют критерий χ² «хи-квадрат» или критерий Пирсона.

Предположим (выдвигаем гипотезу) что распределение – Гауссово или нормальное

P *

X

Вот, если бы была такая гистограмма, то мы бы назвали распределение равномерным.

P *

X

Лекция 17

Примечание:

Для облегчения подбора закона распределения существует реестр наиболее распространенных законов:

Самыми лучшими, потому как самыми хорошо объясненными и понятными являются вот эти два закона:

Нормальное или Гауссово распределение

Равномерное распределение

P(X) P(X)

X X

Примеры других законов распределения:

Трапециальное распределение

Треугольное распределение

P(X) P(X)

X X

Двухмодальное распределение

P(X)

X

7) Пишем результат измерения

Оценка среднего

При определённых n = … и Р_Д = …

Коэффициент k зависит от вида закона распределения и доверительной погрешности.

Примечание:

Существуют случаи, когда можно не строить закон распределения и гистограмму. Это можно тогда, когда:

а) когда случай уже точно известен и обоснован в литературе, например

б) существуют случаи, когда можно с уверенностью утверждать, что закон распределения – Гауссов

Рассмотрим случай, когда это можно утверждать. Из центральной предельной теоремы теории вероятностей известно, что величина будет распределяться по нормальному закону если на неё воздействует большое число независимых величин (пять штук – уже достаточно), причём воздействие каждого из них незначительно.

Пусть X – величина. И мы считаем что она распределена по Гауссу.

X

3

Δ4

Δ3

Δ2

2 4

Δ5

Δ1

1 Δ – малая величина

P(X)

X

Если закон распределения нормальный, только в этом случае имеем право при n <= 10 (при малом числе измерений) пользоваться коэффициентом Стьюдента

При определённых n = … и Р_Д = …