Абсолютная и относительная погрешность

Тема 1.1. Элементы теории погрешностей

1.1.1. Точные и приближенные числа

1.1.2. Абсолютная и относительная погрешность

1.1.3. Тестовые задания по теме «Элементы теории погрешностей»

Точные и приближенные числа

Точность числа, как правило, не вызывает сомнений, когда речь идет о целых значениях данных (2 карандаша, 100 деревьев). Однако, в большинстве случаев, когда точное значение числа указать невозможно (например, при измерении предмета линейкой, снятии результатов с прибора и т.п.), мы имеем дело с приближенными данными.

Приближенным значением называется число, незначительно отличающееся от точного значения и заменяющее его в вычислениях. Степень отличия приближенного значения числа от его точного значения характеризуется погрешностью.

Различают следующие основные источники погрешностей:

1. Погрешности постановки задачи, возникающие в результате приближенного описания реального явления в терминах математики.

2. Погрешности метода, связанные с трудностью или невозможностью решения поставленной задачи и заменой ее подобной, такой, чтобы можно было применить известный и доступный метод решения и получить результат, близкий к искомому.

3. Неустранимые погрешности, связанные с приближенными значениями исходных данных и обусловленные выполнением вычислений над приближенными числами.

4. Погрешности округления, связанные с округлением значений исходных данных, промежуточных и конечных результатов, получаемых с применением вычислительных средств.

Абсолютная и относительная погрешность

Учет погрешностей является важным аспектом применения численных методов, поскольку погрешность конечного результата решения всей задачи является продуктом взаимодействия всех видов погрешностей. Поэтому одной из основных задач теории погрешностей является оценка точности результата на основании точности исходных данных.

Если – точное число и – его приближенное значение, то погрешностью (ошибкой) приближенного значения является степень близости его значения к его точному значению .

Простейшей количественной мерой погрешности является абсолютная погрешность, которая определяется как

(1.1.2-1)

Как видно из формулы 1.1.2-1, абсолютная погрешность имеет те же единицы измерения, что и величина . Поэтому по величине абсолютной погрешности далеко не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения. Например, если , а речь идет о детали станка, то измерения являются очень грубыми, а если о размере судна, то – очень точными. В связи с этим введено понятие относительной погрешности, в котором значение абсолютной погрешности отнесено к модулю приближенного значения ().

(1.1.2-2)

Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерений данных. Относительная погрешность измеряется в долях или процентах. Так, например, если

, а , то , а если и ,

то тогда .

Чтобы численно оценить погрешность функции, требуется знать основные правила подсчета погрешности действий:

· при сложении и вычитании чисел абсолютные погрешности чисел складываются

· при умножении и делении чисел друг на друга складываются их относительные погрешности

· при возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени

Пример 1.1.2-1. Дана функция: . Найти абсолютную и относительную погрешности величины (погрешность результата выполнения арифметических операций), если значения известны, а 1 – точное число и его погрешность равна нулю.

Определив, таким образом, значение относительной погрешности, можно найти значение абсолютной погрешности, как , где величина вычисляется по формуле при приближенных значениях

Поскольку точное значение величины обычно неизвестно, то вычисление и по приведенным выше формулам невозможно. Поэтому на практике проводят оценку предельных погрешностей вида:

(1.1.2-3)

где и – известные величины, которые являются верхними границами абсолютной и относительной погрешностей, иначе их называют – предельная абсолютная и предельная относительная погрешности. Таким образом, точное значение лежит в пределах:

или

Если величина известна, то , а если известна величина , то

Предельная абсолютная погрешность функции вида , дифференцируемой в заданной области, при известных значениях аргументов , а также при известных предельных абсолютных погрешностях аргументов , вычисляется по формуле:

(1.1.2-4)

а, соответственно, предельная относительная погрешность функции

(1.1.2-5)

В частном случае для функции от одной переменной (при m=1):

Пример 1.1.2-2. Оценить абсолютную и относительную погрешности приближенного числа .

Число – трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью .

Приближенное значение числа .

Граница абсолютной погрешности , относительная погрешность числа