Лабораторная работа №10

ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цель работы: изучение динамики вращательного движения, измерение момента инерции маятника Обербека.

Введение

Вращательным движением называется такое движение, при котором все точки твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Вращательное движение тела описывают с помощью углового перемещения  – вектора, численно равного углу поворота тела. Если декартова прямоугольная система координат (XYZ) построена для рассмотрения вращательного движения, то положительным значениям угла Если построена только ось вращения Z, то положительными считаются углы, если смотреть по направлении оси вращения, откладываемые по направлению движения часовой стрелки.

Быстрота изменения вектора углового перемещения характеризуется угловой скоростью:

.

(44)

В свою очередь, быстрота изменения вектора угловой скорости характеризуется угловым ускорением:

(45)

Получим соотношения между линейными скоростями и ускорениями и угловыми. Линейная скорость связана с угловой соотношением:

.

(46)

Для вывода формулы линейного ускорения продифференцируем формулу (46):

.

(47)

Получили, что полное ускорение определяется суммой двух векторов и . Рассмотрим, куда направлены эти вектора. Вектор направлен туда же куда и линейная скорость, по касательной к окружности, его называют тангенциальным ускорением и обозначают . Второй вектор направлен к центру окружности, его называют нормальным, радиальным или центростремительным ускорением, и обозначают . По модулю нормальное, тангенциальное ускорения и линейная скорость равны произведению соответствующих скаляров векторов, входящих в векторные произведения:

.

(48)

Мерой инертности тела при вращательном движении служит момент инерции J. Момент инерции – это скалярная величина, равная сумме произведений масс m_i всех материальных точек тела на квадраты их расстояний r_i до оси вращения:

(49)

Для вычисления момента инерции интеграл берется по всему объему тела.

Для описания вращательного движения твердого тела вводят понятие момента силы ( ) и момента импульса ( ) относительно неподвижной точки или оси вращения.

Момент импульса – это векторная величина, равная векторному произведению радиус–вектора , проведенного из начала координат в точку приложения импульса :

.

(50)

Момент силы – это векторная величина, равная векторному произведению радиус–вектора , проведенного из начала координат в точку приложения силы F:

.

(51)

Вывод формул динамики вращательного движения подробно приведен в введении к лабораторной работе №8.

В скалярном виде момент силы равен:

(52)

где – плечо силы; α – угол между векторами силы и радиусом-вектором.

Таким образом основные уравнения динамики вращательного движения записываются следующим образом:

(53)

где – проекция момента импульса на ось вращения Z; – проекция момента силы на ось вращения Z; и – угловые скорости и ускорения тела.

Методика измерений

В данной работе осуществляется экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека. Схематическое изображение установки приведено на рис. 8.

h

Рис. 8. Схематическое изображение установки и приложения сил

Маятник представляет собой маховик в виде крестовины. По четырем взаимно перпендикулярным стержням могут перемещаться грузы массой m. На общей оси находится шкив, на который наматывается нить с привязанным на её конец грузом. Под действием падающего груза нить разматывается и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение, при этом угловое ускорение крестовины:

,

(54)

где a – ускорение падающего груза; r – радиус шкива.

Пользуясь выражением для равноускоренного движения груза:

,

(55)

находим

.

(56)

Подставляя (56) в (54) получаем:

(57)

где h – высота падения груза; t – время падения груза.

Момент силы, приложенной к крестовине, находим по формуле (52), поскольку сила, приложенная к шкиву, перпендикулярна его радиусу, то момент сил, действующих на шкив:

,

где r – радиус шкива.

Силу F можно найти из уравнения движения платформы с грузом:

.

(58)

Тогда для момента силы получим следующее выражение:

(59)

Используя формулу (53) после подстановки в нее углового ускорения из (57) и линейного ускорения из (56) получим расчетную формулу для момента инерции:

.

(60)

Получив экспериментальные значения h и t , по формуле (60) определяем значение момента инерции крестовины.

Теоретическое значение момента инерции крестовины:

(61)

где J₀ – суммарный момент инерции двухступенчатого шкива, оси и бобышки крестовины; 4m₁R² – момент инерции передвижных грузов крестовины; R – расстояние от оси вращения до груза; m – масса передвижного груза; l – длина стержня(от центра крестовины до груза); m₂ – масса стержня без груза; – момент инерции стержней крестовины без грузов.

Описание установки

Общий вид маятника приведен на рис. 9. На вертикальной стойке основания 1 крепятся три кронштейна: верхний 2, средний 3, нижний 4.

Положение всех кронштейнов на вертикальной стойке строго зафиксировано. На верхнем кронштейне 2 крепится блок 5 изменения направления движения эластичной нити 6, на которой подвешен крючок 7 с грузом 8. Вращение блока 5 осуществляется в узле подшипников 9, который дает возможность уменьшить трение.

На среднем кронштейне 3 крепится электромагнит 14, который с помощью фрикциона при подаче на него напряжения, удерживает систему с грузами в неподвижном состоянии. На этом же кронштейне расположен узел подшипников 9, на оси которого с одной стороны закреплен двухступенчатый шкив 13, на котором имеется приспособление для закрепления нити 6.

На другом конце оси находится крестовина, представляющая собой 4 металлических стержня с нанесенными на них рисками через каждые 10 мм, закрепленных в бобышке 12 под прямым углом друг к другу.

На каждом стержне могут свободно перемещаться и фиксироваться грузы 11, что дает возможность ступенчатого изменения момента инерции крестовины маятника.

Рис. 9. Общий вид экспериментальной установки

На нижнем кронштейне 4 крепится фотоэлектрический датчик 15, который выдает электрический сигнал на миллисекундомер 16 для окончания счета промежутков времени. На этом же кронштейне крепится резиновый амортизатор 17, о который ударяется груз при остановке.

Маятник снабжен миллиметровой линейкой 18, по которой определяется начальное и конечное положение грузов, а, следовательно, и пройденный путь.

Миллисекундомер физически 16 выполнен самостоятельным прибором с цифровой индикацией времени.