Определение точечных оценок закона распределения результатов измерения

На этом этапе определяем среднее арифметическое значение массива экспериментальных данных :

где n – количество отсчетов в массиве экспериментальных данных.

В качестве оценки центра распределения среднее арифметическое значение применяется для класса распределений, близких к нормальным. Но для симметричных экспоненциальных островершинных распределений наиболее эффективной является оценка медианы. Медиана — это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные по числу результатов измерения части.

Произведем ранжирование ряда измерений:

Для нахождения медианы нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда

при четном n,

Для равномерного, трапецеидального распределений целесообразно определять оценку центра размаха

х_р = (х₁+x_n) / 2=(208+210)/2=209

С целью оценки рассеяния массива экспериментальных данных относительно среднего арифметического определяем несмещенную оценку дисперсии и среднее квадратическое отклонение (СКО) :

Для упрощения расчетов заполним вспомогательные таблицы 2.2 со значениями и 2.3 со значениями .

Таблица 2.2 - Значения

-11,6	-11,6	-1,6	-5,6	-2,6	-9,6	10,4	-0,6	9,4	-10,6
-1,6	-12,6	-1,6	-1,6	-9,6	18,4	12,4	-5,6	21,4	1,4
-3,6	-2,6	22,4	4,4	5,4	-7,6	9,4	19,4	-3,6	0,4
13,4	-6,6	8,4	-0,6	5,4	2,4	-18,6	-14,6	7,4	-1,6
-13,6	-7,6	-3,6	3,4	1,4	3,4	-11,6	10,4	-3,6	0,4
8,4	-0,6	-6,6	7,4	-4,6	-8,6	-2,6	2,4	3,4	-11,6
1,4	-5,6	-4,6	-2,6	-10,6	10,4	-14,6	-3,6	-11,6	3,4
5,4	5,4	-11,6	-2,6	-7,6	16,4	5,4	-8,6	10,4	7,4
1,4	-4,6	8,4	-5,6	-14,6	-1,6	9,4	-4,6	5,4	10,4
4,4	10,4	9,4	11,4	6,4	-10,6	-11,6	1,4	6,4	-9,6

Таблица 2.3 - Значения

133,63	133,63	2,43	30,91	6,55	91,39	108,99	0,31	89,11	111,51
2,43	157,75	2,43	2,43	91,39	340,03	154,75	30,91	459,67	2,07
12,67	6,55	503,55	19,71	29,59	57,15	89,11	377,91	12,67	0,19
180,63	43,03	71,23	0,31	29,59	5,95	344,47	211,99	55,35	2,43
183,87	57,15	12,67	11,83	2,07	11,83	133,63	108,99	12,67	0,19
71,23	0,31	43,03	55,35	20,79	73,27	6,55	5,95	11,83	133,63
2,07	30,91	20,79	6,55	111,51	108,99	211,99	12,67	133,63	11,83
29,59	29,59	133,63	6,55	57,15	270,27	29,59	73,27	108,99	55,35
2,07	20,79	71,23	30,91	211,99	2,43	89,11	20,79	29,59	108,99
19,71	108,99	89,11	130,87	41,47	111,51	133,63	2,07	41,47	91,39

Тогда .

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. СКО имеет размерность случайной величины и является действующим значением рассеяния этой величины.

Оценка СКО среднего арифметического значения:

Чтобы оценить асимметрию ЗРВ, определяется оценка третьего центрального момента , характеризующая несимметричность распределения (то есть скошенность распределения: когда один спад – крутой, а другой – пологий):

.

Для упрощения расчетов заполним вспомогательную таблицу 2.4 со значениями .

Таблица 2.4 - Значения

-1544,80	-1544,80	-3,80	-171,88	-16,78	-873,72	1137,89	-0,18	841,23	-1177,58
-3,80	-1981,39	-3,80	-3,80	-873,72	6270,22	1925,13	-171,88	9855,40	2,99
-45,12	-16,78	11299,74	87,53	160,99	-432,08	841,23	7346,64	-45,12	0,09
2427,72	-282,30	601,21	-0,18	160,99	14,53	-6393,43	-3086,63	411,83	-3,80
-2493,33	-432,08	-45,12	40,71	2,99	40,71	-1544,80	1137,89	-45,12	0,09
601,21	-0,18	-282,30	411,83	-94,82	-627,22	-16,78	14,53	40,71	-1544,80
2,99	-171,88	-94,82	-16,78	-1177,58	1137,89	-3086,63	-45,12	-1544,80	40,71
160,99	160,99	-1544,80	-16,78	-432,08	4443,30	160,99	-627,22	1137,89	411,83
2,99	-94,82	601,21	-171,88	-3086,63	-3,80	841,23	-94,82	160,99	1137,89
87,53	1137,89	841,23	1497,19	267,09	-1177,58	-1544,80	2,99	267,09	-873,72

Третий центральный момент и его оценка имеют размерность куба случайной величины, поэтому для относительной характеристики асимметрии применяют безразмерный коэффициент асимметрии А:

.

Для симметричных распределений ЗРВ относительно математического ожидания . Однако в реальности может быть определена только оценка третьего центрального момента , которая, являясь случайной величиной, может приближаться к нулю, но не быть равной ему. Достоверность оценки величины асимметрии может быть определена с помощью параметра, характеризующего его рассеяние

.

Т.к. выполняется условие , то можно считать, что ЗРВ симметричный.

Чтобы оценить протяженность ЗРВ, определяется оценка четвертого центрального момента :

.

Для упрощения расчетов заполним вспомогательную таблицу 2.5 со значениями .

Таблица 2.5 - Значения

17857,94	17857,94	5,92	955,65	42,95	8352,79	11879,60	0,10	7941,23	12435,28
5,92	24886,20	5,92	5,92	8352,79	115622,85	23948,68	955,65	211299,82	4,30
160,62	42,95	253566,23	388,63	875,78	3266,53	7941,23	142818,69	160,62	0,04
32628,50	1851,89	5074,23	0,10	875,78	35,45	118662,06	44941,29	3064,02	5,92
33809,50	3266,53	160,62	140,03	4,30	140,03	17857,94	11879,60	160,62	0,04
5074,23	0,10	1851,89	3064,02	432,37	5369,02	42,95	35,45	140,03	17857,94
4,30	955,65	432,37	42,95	12435,28	11879,60	44941,29	160,62	17857,94	140,03
875,78	875,78	17857,94	42,95	3266,53	73047,82	875,78	5369,02	11879,60	3064,02
4,30	432,37	5074,23	955,65	44941,29	5,92	7941,23	432,37	875,78	11879,60
388,63	11879,60	7941,23	17127,90	1720,06	12435,28	17857,94	4,30	1720,06	8352,79

Четвертый центральный момент имеет размерность четвертой степени случайной величины, поэтому для удобства чаще применяют относительную величину, которая называется эксцессом Е и определяется по формуле

.

Для классификации распределений по их форме удобнее использовать оценку контрэксцесса , изменяющуюся от 0 до 1 и определяемую по формуле

.

Согласно полученным в результате расчета значениям эксцесса и контрэксцесса можно сделать вывод, что ЗРВ напряжения приближен к треугольному распределению вероятности.