Теория рассматриваемого вопроса. Соплом называют специально спроектированный канал, предназначенный для увеличения

Соплом называют специально спроектированный канал, предназначенный для увеличения скорости движения газа за счёт преобразования его потенциальной энергии в кинетическую энергию при расширении. Такие устройства широко используются в технике для получения высоких скоростей газовых потоков.

Каналы, в которых происходит обратное преобразование энергии потока, называют диффузорами.

Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что даже небольшая разность давлений по обе стороны сопла позволяет получать значительное увеличение скорости течения рабочего тела (газа) в канале сопла.

При исследовании закономерностей течения газа через сопла используются следующие основные законы (уравнения) термодинамики:

v первый закон термодинамики (уравнение энергии);

v уравнение неразрывности (закон сохранения массы);

v уравнение адиабатного процесса;

v уравнение состояния идеального газа.

Использование законов термодинамики при проектировании сопел позволяет определять скорость истечения газа, его секундный расход и основные геометрические параметры при профилировании сопел.

При теоретическом рассмотрении процесса истечения газа через сопло считают, что такой процесс совершается без теплообмена газа с внешней средой, т.е. является адиабатным.

Если поток газа является стационарным (его параметры изменяются только вдоль потока) и адиабатным, а газ не совершает полезной внешней работы и отсутствует трение, то уравнение первого закона термодинамики имеет вид:

(10.1)

Здесь dq – подведённая теплота от внешних источников;

du – изменение внутренней энергии;

– работа проталкивания потока;

w – средняя скорость потока.

С другой стороны уравнение первого закона термодинамики можно выразить через изменение энтальпии газа:

, (10.2)

где di – изменение энтальпии газа:

;

vdp – располагаемая работа.

Из совместного рассмотрения формул (10.1) и (10.2) получают зависимость:

(10.3)

При этом поток подчиняется также и уравнению неразрывности (сплошности), отражающему постоянство расхода газа вдоль потока:

(10.4)

В дифференциальной форме уравнение неразрывности имеет вид:

(10.5)

где F – площадь поперечного сечения потока, м ;

v – удельный объём газа, м / кг;

p – давление газа, Па.

Рассматривая совместно уравнения (10.4), (10.5) и уравнение адиабаты в дифференциальной форме:

(10.6)

можно получить так называемое уравнение профиля канала, связывающее его геометрические характеристики (сечение F) с термодинамическими характеристиками ( w, v, a ):

, (10.7)

где a – местная скорость звука в газе:

(10.8)

Уравнение (10.7) показывает, что при дозвуковом течении в суживающимся сопле (dF/F < 0) ускорение газа (dw/w > 0) может осуществляться только в пределах до звуковой скорости, поскольку выражение в скобках должно оставаться отрицательным.

Чтобы достичь сверхзвуковой скорости истечения, сопло должно быть в начале суживающимся (dF/F < 0), затем иметь участок равного сечения

(dF/F = 0 при w = a), после чего должен идти участок расширения. Такое сопло получило название «комбинированное сопло» или «сопло Лаваля».

Явление ограничения скорости истечения в технике называют кризисом истечения или звуковым барьером. Максимальная скорость истечения газа, достижимая в сужающихся соплах, называется «критической», а параметры газа, при которых наступает кризис истечения – «критическими параметрами»

( p , v , ). Из уравнения (10.7) следует, что критическая скорость истечения газа численно равна местной скорости звука (т.е. скорости звука при параметрах на срезе сопла).

Используя уравнение (10.3), соотношение между параметрами для адиабатного процесса:

pv

и уравнение состояния для 1 кг идеального газа:

,

получают формулы для расчёта скорости w и секундного расхода газа m при его докритических режимах течения:

(10.9)

; (10.10)

Здесь k – показатель адиабаты (для воздуха k = 1,4);

R – газовая постоянная (для воздуха R = 287 Дж/кг.град );

T – температура газа перед соплом, К;

p – давление газа на входе в сопло, Па;

p – давление газа на выходе из сопла, Па.

Как видно из приведённых формул, скорость истечения w и расход газа m зависят от начальной температуры T и отношения давлений:

= (10.11)

Исследуя функцию m = f( ) на максимум путём дифференцирования зависимости (10.10) по параметру и приравнивая первую производную нулю, можно получить выражение для определения критического значения величины , при котором расход газа достигает своего максимума:

(10.12)

Таким образом, критическое отношение давлений зависит только от природы газа. Например, для воздуха, как для двухатомного газа ( k = 1,4 ), величина .

Подставляя критическое отношение давлений в формулу (10.9), получают зависимость для расчёта максимальной скорости истечения из сопла

, (10.13)

которая соответствует местной скорости звука a в газе.

Исследуя изменение расхода газа m (например, воздуха), определяемое формулой (10.10), при уменьшении от 1 до 0 находим, что m = 0 при =1 (т.е. p = p ) и при = 0 (т.е. p = 0). В промежутке при уменьшении величины расход сначала возрастает, достигает максимума, а затем убывает (линия AKB, рис. 10.1). Таким же образом от величины зависит и изменение скорости газа.

m w p

D K p = p

mw

p

B A 45

0 1,0 p

Рис. 10.1 Рис. 10.2

Сравнение описанной зависимости (10.10) с экспериментальными данными по истечению газов выявило хорошее совпадение результатов в диапазоне (линия AK), т.е. до критического режима. При < расход газа фактически остаётся постоянным и максимальным (линия KD), т.е. дальнейшее уменьшение давления среды за соплом p не оказывает влияния на расход (критический режим истечения).

Характер зависимости давления в выходном сечении сопла p от давления среды p представлен на рис. 10.2.