С помощью формул численного дифференцирования

Абсолютную погрешность Df косвенно измеряемой величины f можно определить без непосредственного вычисления частных производных, используя формулы численного дифференцирования (прил. 5). Полученная на основе выражения (12) формула для расчета Df примет вид:

(28)

где – среднее значение величины f.

4. пример измерения и расчета погрешности

Цель измерения: определить объем твердого тела, имеющего форму цилиндра.

Объем V тела можно измерить непосредственно, погружая тело в мензурку с водой. Однако будем считать, что нет возможности прямыми методами измерить объем тела (нет подходящей мензурки). тогда объем цилиндра вычислим по формуле:

, (29)

где d и h - диаметр основания и высота цилиндра соответственно.

Из формулы (29) видно, что необходимы прямые измерения диаметра d основания и высоты h цилиндра.

1) Проведем прямые измерения.

При измерении диаметра d основания цилиндра штангенциркулем с ценой деления в 0,1 мм в пяти различных положениях были получены следующие зна­чения (в мм): 39,6; 39,8; 39,5; 39,6; 39,7.

Проведем математическую обработку результатов прямых измерений диаметра d основания цилиндра:

а) среднее арифметическое значение диаметра

ádñ = = 39,64 мм; (30)

б) абсолютная погрешность многократных измерений диаметра

Dd = =

= 0,188 мм » 0,19 мм; (31)

в) относительная погрешность измерений e_d = (0,19/39,64)×100 % = 0,48 %;

г) окончательный результат измерения диаметра цилиндра записывается в виде:

d = (39,64 ± 0,19) мм с e_d = 0,48 %. (32)

Измерения штангенциркулем высоты цилиндра в пяти различных местах в пределах инструментальной погрешности в 0,1 мм не обнаружили непараллельности оснований цилиндра (это указывает на малые случайные погреш­ности Dh_cл < Dh_ин).

Результат измерения запишем в виде:

h = (52,9 ± 0,1) мм с e_h = 0,19 %. (33)

Число p = 3,14 ± 0,005 с e_p = 0,16 % (в соответствии с прил. 3).

2) Действительное значение объема подсчитаем по формуле (29), подставив в нее средние значения áπñ, ádñ, áhñ:

(34)

3) Абсолютную погрешность DV найдем двумя способами.

Способ 1. Используя формулу (12), запишем:

. (35)

Найдем частные производные от V по каждой измеренной величине и подставим их в формулу (35):

(36)

Расчет абсолютной погрешности даст следующий результат:

(37)

Способ 2. В соответствии с формулой (28)

(38)

Подставим числовые значения в формулу (38) и получим:

(39)

Как видно, вычисленные разными способами значения абсолютной погрешности (37) и (39) совпадают с точностью до двух значащих цифр. С учетом правил округления (см. прил. 2) абсолютная погрешность измерения объема

DV = 8,5∙10 ^–7 м³. (40)

4) Относительная погрешность результата

(41)

5) Окончательный результат измерения объема цилиндра с учетом правил округления (см. прил. 2) запишем в виде:

V = (6,525 ± 0,085)×10 ^–5 м³ с e_V = 1,3 %. (42)

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ ДЛЯ ЗАЧЕТА

На итоговом занятии по теории погрешностей необходимо выполнить контрольные задания из табл. 3. В каждом задании требуется провести математическую обработку результатов прямых и косвенных измерений (по разрешению преподавателя можно наметить лишь основные этапы расчета, не проводя его).

Таблица 3

Контрольные примеры для зачета

Номер задания	Измеряемая величина, расчетная формула	Приборы (цена деления, верхний предел, класс точности)	Результат прямых измерений
	Объем цилиндра V =	Микрометр (0,01 мм)   Штангенциркуль (0,05 мм)	di, мм: 1,37; 1,39; 1,38; 1,39; 1,40 hi, мм: 20,05; 20,10; 20,15; 20,10; 20,20
	Ускорение падающего груза а = 2h/t2	Масштабная линейка (1 мм)   Cекундомер (0,2 с)	hi, см: 87,4; 87,5; 87,3; 87,5; 87,6 ti, с: 7,7; 7,9; 7,8; 7,6; 7,8
	Мощность электричес­кого тока P = I2R	Амперметр (10 А; 0,5) Омметр (100 Ом; 0,1)	Ii, А: 7,7; 7,6; 7,8; 7,7; 7,5 Ri, Ом: 56; 54; 56; 57; 55
	Сопротивление проводника R = U/I	Вольтметр (30 В; 0,5)   Амперметр (10 А; 0,5)	Ui, В: 10,1; 10,0; 10,2; 10,1; 9,8 Ii, А: 0,21; 0,24; 0,23; 0,21; 0,23
	Мощность электричес-кого тока P = U2/R	Вольтметр (300 В; 0,2)   Омметр (200 Ом; 0,5)	Ui, В: 221; 220; 219; 220; 222 Ri, Ом: 102; 103; 101; 102; 104
	Напряженность электрического поля Е = U/d	Вольтметр (150 В; 1,0)   Микрометр (0,01 мм)	Ui, В: 137; 135; 136; 138; 136 di, мм:1,84; 1,83; 1,84; 1,85; 1,82
	Действие электрического поля F = eU/d	Вольтметр (1000 В; 2,5)   Микрометр (0,01 мм)	Ui, В: 976; 975; 976; 977; 974 di, мм: 5,02; 5,03; 5,02; 5,01; 5,04
	Заряд проводника q = Сj	Измеритель емкости (50 мкФ; 0,5) Вольтметр (300 В; 1,0)	Сi, мкФ: 48; 47; 49; 48; 46 ji, В: 125; 124; 126; 125; 123

Окончание табл.3

	Энергия конденсатора We = CU2	Измеритель емкости (1000 пФ; 0,1) Вольтметр (150 В; 0,2)	Сi, пФ: 832; 830; 831; 832; 833 Ui, В: 139; 138; 137; 139; 140
	Количество теплоты Q = (U2/R)t (R = 5 Ом)	Вольтметр (30 В; 0,05) Cекундомер (0,2 с)	Ui, В: 25; 26; 24; 26; 27 ti, с: 15,9; 15,8; 15,9; 16,0; 15,7
	Сопротивление медного проводника R =	Масштабная линейка (1 мм) Микрометр (0,01 мм)	i, мм: 12; 11; 14; 13; 12; di, мм: 0,30; 0,29; 0,31; 0,32; 0,30
	Напряженность магнитного поля Н =	Амперметр (1 А; 0,05)   Микрометр (0,01)	Ii, А: 0,28; 0,27; 0,28; 0,29; 0,26 di, мм: 1,23; 1,22; 1,24; 1,21; 1,23
	Момент инерции шара J =	Весы (0,1 г)   Штангенциркуль (0,1 мм)	mi, г: 118,4; 117,8; 119,0; 118,3; 118,1 di, мм: 44,3; 44,2; 44,3; 44,4; 44,1
	Магнитный момент pm = I×pd2/4	Амперметр (2 А; 0,02) Штангенциркуль (0,1 мм)	Ii, А: 1,3; 1,2; 1,4; 1,5; 1,3 di, мм: 41,45; 41,20; 41,10; 41,25; 41,15
	Сила Ампера FA = BI (B = 0,2 Тл)	Амперметр (5 А; 0,2) Штангенциркуль (0,1 мм)	Ii, А: 3,7; 3,6; 3,5; 3,6; 3,4 i, мм: 54,4; 54,5; 54,4; 54,3; 54,6

6. графическое представление результатов измерений

В процессе измерений часто приходится иметь дело с физическими величинами, находящимися в некоторой функциональной зависимости друг от друга (y = f(x)). В качестве примеров приведем линейную зависимость электрического сопротивления R проводника от температуры T: R(t°) = a R₀ T, квадратичную зависимость пройденного пути s от времени: и т. п. Чтобы получить наглядное представление о взаимной связи рассматриваемых величин и их закономерном изменении, результаты измерений следует представлять графически.

В том случае, когда пользуются прямоугольной системой координат, значения независимой переменной х откладывают по оси абсцисс, а значения функции у – по оси ординат. На координатных осях при этом указываются названия откладываемых величин и единицы их измерения; единицы измерения пишут справа от измеряемых параметров через запятую. Масштаб графика следует выбирать таким образом, чтобы график занимал бóльшую часть координатной плоскости, поэтому за начало отсчета координат необязательно принимать нулевые значения измеренных величин. Если измеренные значения величин заключены в интервалах от х_min до x_max и от y_min до y_max, то при нанесении шкал можно начало отсчета совместить со значениями, близкими к х_min и y_min. Масштабные деления откладывают на координатных осях равномерно через 10 – 20 мм.

Экспериментальные результаты наносятся на координатную плоскость в виде точек. Обычно каждая точка является результатом многократно повторенных измерений. Чтобы отобразить на графике точность, с которой получены результаты, для каждой точки откладываются доверительные интервалы в виде двух взаимно перпендикулярных отрезков, пересекающихся в данной точке. Длина отрезка в выбранном масштабе равна соответствующему доверительному интервалу, например (áxñ – Dx, áxñ + Dx), т. е. удвоенной абсолютной погрешности измерения, а сама точка находится в середине отрезка.

При построении графика рекомендуется провести плавную линию (а не ломаную) так, чтобы она проходила по возможности ближе к экспериментальным точкам в пределах доверительных интервалов. Построить такую плавную линию, которая наилучшим образом выражала бы функциональную зависимость у от х, можно, в частности, при помощи метода наименьших квадратов [5]. Необходимо учесть, что на чертеже, где кривая идет монотонно, можно ограничиться небольшим числом точек, а вблизи точек максимума, минимума или перегиба измерения производятся чаще и соответственно на графике точки наносятся гуще. Пример построения графика зависимости электрического сопротивления R проводника от температуры T представлен на рисунке.

Чертят график на миллиметровой бумаге или на бумаге в клетку.

Библиографический список

1. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок: Пер. с англ./ Дж. Тейлор. М.: Мир, 1985. 272 с.

2. Зайдель А. Н. Погрешности измерений физических величин / А. Н. Зейдель. Л.: Наука, 1985. 112 с.

3. Кассандрова О. Н. Обработка результатов наблюдений / О. Н. Кас- сандрова, В. В. Лебедев. М.: Наука, 1970. 104 с.

4. Деденко Л. Г. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента / Л. Г. Деденко, В. В. Керженцев / МГУ. М., 1977. 112 с.

5. Литневский Л. А. Метод наименьших квадратов в лабораторном практикуме по физике / Л. А. Литневский, С. А. Минабудинова / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2004. 32 с.

Приложение 1

ПОДГОТОВКА К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ,

ПОРЯДОК ЕЕ ВЫПОЛНЕНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Студент должен заранее подготовиться к выполнению лабораторной работы:

изучить теоретические сведения по теме лабораторной работы по учебнику и конспекту лекций;

ознакомиться с описанием оборудования и методикой проведения эксперимента по данным методическим указаниям;

оформить в специальной тетради основу отчета (записать номер, название и цель лабораторной работы; перечень используемых в лабораторной работе приборов и принадлежностей; начертить схему или чертеж лабораторной установки; записать необходимые для расчетов формулы с расшифровкой обозначений; начертить таблицы для записи измеренных и вычисленных величин).

К выполнению лабораторной работы допускаются студенты, подготовившиеся к занятию. Перед проведением эксперимента необходимо изучить предназначенные для него приборы и принадлежности, а затем приступать к работе. Результаты, полученные в ходе эксперимента, записываются в таблицы, затем проводится оценочный расчет определяемой величины; результаты измерений и оценочный расчет проверяются и визируются преподавателем.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1) расчет искомых величин (в случае необходимости результаты приводятся в виде графиков);

2) расчет погрешностей;

3) вывод, где анализируются полученные результаты и причины их расхождения с табличными значениями.

Приложение 2

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ

Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при решении физических задач, в большинстве своем являются приближенными из-за недостаточной точности измерений или за счет округления более точных значений, поэтому погрешности результата определяются погрешностью не только измерений, но и вычислений. Необходимо помнить о том, что точность результата определяется точностью измерительных приборов и тщательностью исходных измерений и не может быть повышена в дальнейшем путем искусственного набирания знаков в числах при выполнении арифметических действий.

При расчете погрешностей следует пользоваться общими правилами приближенных вычислений:

1) все вычисления необходимо проводить с числом цифр, превышающим на единицу число значащих цифр, полученных при измерении (значащими цифрами не считаются нули, стоящие с левой стороны числа); в некоторых случаях результаты промежуточных вычислений можно округлять так, чтобы число значащих цифр в них было на два больше числа значащих цифр в значениях измеренных величин;

2) значение абсолютной погрешности Dх следует округлять до двух значащих цифр слева;

3) среднее значение áхñ необходимо округлять до того разряда, в котором находится вторая значащая цифра абсолютной погрешности;

4) относительную погрешность следует округлять до двух значащих цифр.

Примеры.

1. В результате измерений и расчетов получили: áхñ = 17,9689 см и Dх = 0,0237 см. с учетом правила округления окончательный результат следует записать в виде: х = (17,969 ± 0,024) см с e_х = 0,13 %.

2. В результате измерений и расчетов получили: áуñ = 23,7531 см и Dу = 0,0178 см. После округления окончательный результат имеет вид: у = (23,753 ± 0,018) см с e_у = 0,076 %.

Приложение 3

ПОГРЕШНОСТЬ ВЕЛИЧИНЫ,

НЕ ИЗМЕРЯЕМОЙ В ХОДЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Часто в лабораторных работах используют значения некоторых величин, измеренных заранее (данные установки), а также табличные данные и т. п. без указания погрешности. В таких случаях абсолютную погрешность принимают равной половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе.

Примеры.

1. Масса тела m = 532,8 г (прямое измерение не проводилось), тогда Dm = ×0,1 = 0,05 г. Следовательно, m = (532,8 ± 0,05) г.

2. Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с² (табличная величина).

Абсолютная погрешность Dg = ×0,01 = 0,005 м/с², тогда g = (9,81 ± 0,005) м/с².

3. Трансцендентное число p » 3,1415926… . Округляя число p, т. е. заменяя p на приближенное значение p_пр, допускаем погрешность Dp = p - p_пр, которая в зависимости от требуемой точности принимает следующее значение:

если p_пр = 3,14, то Dp = 0,01= 0,005, а e_p = ×100 % = 0,16 %;

если p_пр = 3,142, то Dp = 0,001= 0,0005, а e_p = ×100 % = 0,016 %.

Приложение 4

ПОНЯТИЕ О ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Пусть дана функция нескольких переменных f = f(x, у, z, …). Если зафиксировать значение всех независимых переменных кроме одной, то f станет функцией этой одной переменной и по ней можно брать производную по известным правилам. Такие производные называются частными. Другими словами,

– частная производная по переменной х от функции f;

– частная производная по переменной у от функции f;

– частная производная по переменной z от функции f и т. п.

Символы или (x, y, z, …) для функций нескольких переменных не имеют смысла, так как необходимо обязательно указывать, по какой именно переменной производится дифференцирование. Частная производная (например, по х) обозначается так:

; ; ( x, y, z, …),

однако предпочтительнее первые два обозначения из них.

Отметим, что правила вычисления частных производных от конкретных функций совпадают с правилами, применяемыми для функций одной переменной, требуется только каждый раз помнить, по какой переменной берется производная, а к остальным переменным следует относиться как к постоянным.

Примеры.

Дана функция нескольких переменных, требуется найти частные производные по всем переменным.

1. f(x, y) = x²sin y.

= 2xsin y (здесь y рассматривается как постоянная);

= x²соs y (здесь х рассматривается как постоянная).

2. f = x^y.

= yx^y–1 (здесь y рассматривается как постоянная);

= x^y×ln x (здесь х рассматривается как постоянная).

3. f = x² – z² + xz³ – .

= 2x + z³ (здесь z и y рассматриваются как постоянные);

= (здесь х и z рассматриваются как постоянные);

= – 2z + 3xz² – (здесь х и y рассматриваются как постоянные).

Приложение 5

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Пусть дана функция f = f (x). Производная функции в точке x в соответствии с определением задается следующим выражением:

Приближенное значение производной в точке x может быть найдено по двум значениям функции, одно из которых вычислено непосредственно в точке x, а другое – в точке x+∆x, расположенной вблизи x:

В том случае, когда дана функция нескольких переменных f = f (x, у, z, …), подобным образом вычисляются частные производные:

– частная производная по переменной х от функции f;

– частная производная по переменной y от функции f;

– частная производная по переменной z от функции f и т. п.

Учебное издание

КРОХИН Сергей Николаевич,

ЛИТНЕВСКИЙ Леонид Аркадьевич,

МИНАБУДИНОВА Сания Анасовна

Измерения и расчет погрешностей

в лабораторном практикуме по физике

_____________________________

Редактор Н. А. Майорова

* * *

Подписано в печать 17.01.2012. Формат 60 ´ 84 ¹/₁₆.

Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,2.

Тираж 1000 экз. Заказ .

* *

Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа

Типография ОмГУПСа

*

644046, г. Омск, пр. Маркса, 35