Некоторые сведения из теории вероятностей

Основные определения.

Прямыми измерениями называют такие измерения, при которых с помощью эталонного прибора измеряют непосредственно исследуемую величину X (например, прямым измерением является измерение длины при помощи линейки).

Косвенными измерениями называют такие измерения, при которых искомое значение величины находится на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, определяемыми прямыми измерениями (например, косвенным измерением является измерение плотности тела по результатам прямых измерений его массы и объема).

Абсолютная погрешность DX измерения – это разность между измеренным (X_изм) и истинным значением (X_ист) измеряемой величины:

(1)

Относительная погрешность измерения d равна отношению абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

(2)

Истинное значение измеряемой величины X_ист экспериментатору не известно. Наиболее близко к истинному значению лежит среднее значение измеряемой величины, определяемой по формуле

, (3)

где X_i – значение измеряемой величины в i-ом измерении, n – число измерений. Оценку абсолютной погрешности i-го измерения можно найти по формуле

(4)

Систематическая погрешность измерения – это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при измерениях. Она может быть вызвана неточностью метода измерения, погрешностями приборов и другими причинами.

Случайная погрешность измерения – это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (даже при повторных прямых измерениях).

Некоторые сведения из теории вероятностей.

При многократных измерениях одной и той же величины получается набор значений X₁ , X₂ , … , X_n , которые представляют собой набор случайных величин. Соответственно случайными величинами являются и абсолютные погрешности DX_i. Распределение таких величин, согласно теории вероятностей, подчиняется нормальному закону Гаусса.

Приближенное значение среднего квадратического отклонения результата измерения при n независимых измерениях случайной величины можно рассчитать по формуле

Приближенное значение среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения от истинного при n независимых измерениях случайной величины можно рассчитать по формуле

(5)

также называют стандартной погрешностью.

Доверительной границей (доверительным интервалом) погрешности DX называю величину DX_гр, если DX попадает в интервал [–DX_гр; + DX_гр] с заданной вероятностью p. При проведении лабораторных работ рекомендуется выбирать p=0, 90 или 0,95.

Теория вероятности позволяет связать DX_гр с :

(6)

где t_p;n – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности p (см. табл.).

Число измерений n										¥
Коэффициент стьюдента tp;n	p=0,90	2,9	2,4	2,1	2,0	1,9	1,9	1,9	1,9	1,7	1,65
p=0,95	4,3	3,2	2,8	2,6	2,5	2,4	2,3	2,3	2,1	2,0