И доверительного интервала

Обозначим истинное значение измеряемой величины через , её среднее арифметическое значение для серии измерений через , а погрешность измерения этой величины – ; пусть означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую чем . Это принято записывать в виде:

. (5)

Вероятность носит название доверительной вероятности, или коэффициента надёжности. Интервал значений от - до + называется доверительным интервалом.

Выражение (5) означает, что с вероятностью, равной , истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы интервала от - до+ . Разумеется, чем большей надёжности мы требуем, тем больше задаётся соответствующий доверительный интервал и тем вероятнее, что результаты измерений не выдут за его пределы. Следовательно, для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать две величины, а именно: величину самой ошибки (доверительного интервала) и величину доверительной вероятности. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надёжности полученного результата.

При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0.9 или 0.95.

Для любой величины доверительного интервала в теории ошибок вычисляется соответствующая доверительная вероятность. Результаты этих вычислений для большого числа измерений приведены в таблице № 1.

Таблица № 1

	a		a		a
		1.2	0.77	2.6	0.9900
0.05	0.04	1.3	0.80	2.7	0.9930
0.1	0.08	1.4	0.84	2.8	0.9950
0.15	0.12	1.5	0.87	2.9	0.9960
0.2	0.16	1.6	0.89	3.0	0.9970
0.3	0.24	1.7	0.91	3.1	0.9981
0.4	0.31	1.8	0.93	3.2	0.9986
0.5	0.38	1.9	0.94	3.3	0.9990
0.6	0.45	2.0	0.95	3.4	0.9993
0.7	0.51	2.1	0.964	3.5	0.9995
0.8	0.51	2.2	0.972	3.6	0.9997
0.9	0.63	2.3	0.978	3.7	0.9998
1.0	0.68	2.4	0.984	3.8	0.99983
1.1	0.73	2.5	0.988	3.9	0.99990
				4.0	0.99993

Примеры пользования таблицей № 1

Пусть для некоторого ряда измерений мы получим = 1.27 , s = 0.032 . Какова вероятность того, что результат определённого измерения не выйдет за пределы, определяемые неравенством 1.26<x_i<1.28 ? Доверительные границы нами установлены в ±0.01, что составляет в долях s 0.01:0.032=0.31. Из таблицы 1 находим, что доверительная вероятность для e = 0.3 равна 0.24. Иначе говоря, приблизительно 1/4 измерений уложится в интервал с ошибкой ± 0.01.

Определим теперь, какова доверительная вероятность a для границ 1.20<x_i<1.34 . Значение этого интервала, выраженное в долях s, будет e = 0.07:0.32 = 2.2 . По таблице 1 находим значение a для e = 2.2 , оно будет равно 0.97. Иначе говоря, результаты примерно 97% всех измерений будут укладываться в этот интервал.

Для малого числа измерений при нахождении доверительной вероятности таблицей 1 пользоваться не следует, так как значения a будут неверные. Это результат того, что при определении среднеквадратичной ошибки (формула (4)) из малого числа наблюдений мы находим последнюю с малой точностью. Для того, чтобы учесть это обстоятельство, интервал можно представить в виде:

, (6)

где – некоторый численный коэффициент, зависящий от надёжности результатов серии измерений.

Величина , носящая название коэффициента Стьюдента, вычислена для различных значений n и a и приведена в таблице №2.

Таблица № 2

n \ a	0.80	0.90	0.95	0.98	0.99
	3.1	6.3	12.7	31.8	63.7
	1.9	2.9	4.3	7.0	9.9
	1.6	2.4	3.2	4.5	5.8
	1.5	2.1	2.8	3.7	4.6
	1.5	2.0	2.6	3.4	4.0
	1.4	1.9	2.4	3.1	3.7
	1.4	1.9	2.4	3.0	3.5
	1.4	1.9	2.3	2.9	3.4
	1.4	1.8	2.3	2.8	3.3
	1.4	1.8	2.2	2.8	3.2
	1.4	1.8	2.2	2.7	3.1
	1.4	1.8	2.2	2.7	3.1
	1.4	1.8	2.2	2.7	3.0
	1.3	1.8	2.1	2.6	3.0
	1.3	1.8	2.1	2.6	2.9
	1.3	1.7	2.1	2.6	2.9
		1.7	2.1	2.6	2.9
		1.7	2.1	2.6	2.9
		1.7	2.1	2.5	2.9

Таким образом, задавая вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадёт в некоторый доверительный интервал, т.е. задавая надёжность a, по числу проведённых измерений можно найти значение коэффициента Стьюдента для этих данных. Тогда, вычислив предварительно s по формуле (4), можно найти величину этого интервала, т. е. погрешность результата измерения .

Например, при необходимости получить результат с надёжностью a=0.95 при произведённых 5-ти измерениях искомой величины (n=5) для коэффициента Стьюдента по таблице 2 находим значение t_0.95,5 = 2.8 . Тогда, если значение среднеквадратичной ошибки получилось, к примеру, равным s = 1.02 , по формуле (6) погрешность результата измерений получается равной = 2.8 · 1.02 = 2.86 .

После этого результат измерений с указанием наименований единиц можно записать в виде:

(наименование единицы) , или

(наименование единицы),

что означает, что истинное значение величины находится в области доверительного интервала ( – , + ) с надёжностью, равной a. Однако величина абсолютной погрешности результата измерений сама по себе ещё не определяет точности измерений.

Пусть, например, мы с одинаковой абсолютной погрешностью измерили две различные длины: l₁=25±0.5 (мм) и l₂=1±0.5 (мм). Ясно, что во втором случае точность наших измерений гораздо ниже. Для оценки точности измерений вводится понятие относительной погрешности Е, равной отношению абсолютной погрешности результата измерений к результату измерений:

. (7)

Ошибки косвенных измерений

В большинстве случаев измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а другая,зависящая от неё тем или иным образом. В случае, когда есть функция нескольких переменных a, b, c, ¼ , то есть , абсолютная ошибка равна:

, (8)

где ; ; — частные производные функции по переменным a, b, c соответственно; Da, Db, Dc – абсолютные погрешности, определяемые соотношением (6). Напомним, что частные производные функции f многих переменных по одной переменной, скажем “a” , является обычной производной функции f по a , причём другие переменные считаются постоянными параметрами. Все производные вычисляются при значениях , и так далее. Относительная погрешность равна:

. (9)