Линейная аппроксимация по МНК

Пусть зависимоcть y от x задана в дискретной форме: {x₁, y₁; x₂,y₂; … x_n,y_n}. По этим данным можно построить такую аппроксимирующую функцию, график которой будет располагаться между узлами интерполяции близко к ним, но не обязательно точно проходить через все узлы. Такая зависимость носит сглаживающий характер и строится, например, для того, чтобы описать экспериментальные данные с помощью функции заданного вида. Необходимо определить лишь параметры этой функции. Для решения такой задачи используется метод наименьших квадратов - МНК. Его суть заключается в минимизации полной квадратичной невязки между построенной функцией и значениями y_i в узловых точках:

где F(x) – искомая аппроксимирующая функция.

Часто в качестве приближения, строящегося по МНК, берутся полиномы степени l, , где l<n-1. В простейшем случае строится полином первой степени, т.е. линейная функция: F(x) =ax+b. Коэффициенты a и b находятся с помощью метода наименьших квадратов по следующим формулам:

, .

Для нахождения коэффициентов, можно использовать стандартные функции системы MathCAD и Excel.

В MathCAD имеется функция line(vx, vy), которая возвращает линейные коэффициенты по значениям векторных аргументов vxи vy.

В Excel имеется функция ЛИНЕЙН, у которой также имеются два аргумента, состоящих из диапазонов ячеек. На первом месте диапазон ячеек соответствующий ординате. После ввода этой функции (например, «=ЛИНЕЙН(F10:F12;E1:E3)» ) выводится только один линейный коэффициент. Для вывода обоих коэффициентов необходимо выделить две ячейки (включая первую слева) потом нажать «F2», а затем комбинацию клавиш «crtl», «shift», «enter».

Лабораторная работа №8

Используя исходные данные из предыдущей работы, построить линейную функцию по методу наименьших квадратов. Вычислить полную квадратичную невязку полученной функции. Вычислить значение функции при заданном значении аргумента.

Физическая задача №3

Полагаем, что измерение интенсивности радиоактивного распада было выполнено для (К+1) моментов времени с заданным интервалом времени . Эти измерения дали таблицу, состоящую из К+1 (К=3-5) значений количества распадов для моментов времени .

Используя метод наименьших квадратов, определить константу распада, период полураспада и значение суммы квадратов невязок.

Знание закона радиоактивного распада

(1)

подсказывает вычислить значения и использовать метод наименьших квадратов для величин , отыскивая параметры линейной зависимости. Тангенс угла наклона линейной зависимости определяет константу радиоактивного распада .

В отчете должен быть представлен график прямой вместе с экспериментальными точками. Заметим, что закон радиоактивного распада является вероятностным и выполняется сравнительно точно для больших значений . Периоды полураспада радиоактивных изотопов изменяются в очень широких пределах. Например, период полураспада изотопа азота равен 10 минутам, а период полураспада изотопа хлора 300 000 лет [1]. В заданиях период полураспада равен часам (и ответ следует выдавать в часах).

Из определения периода полураспада следует его связь с постоянной распада:

. (2)

Параметры задачи преподаватель выдает студенту по аналитическим формулам

, .

В этих формулах - номер студента в группе, а - номер измерения ( , время в этой формуле измеряется в часах. Между номером студента и периодом полураспада имеется линейная зависимость.

В отчете показать вывод уравнений, позволяющих решить задачу, график с прямой в логарифмическом масштабе для и экспериментальными точками, выписать значения постоянной распада и времени полураспада в часах.