Средняя квадратическая ошибка измерения. Формула Гаусса. Абсолютная и относительная ошибка. Предельная ошибка

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т.е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены.

Характеристикой точности отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная Гауссом средняя квадратическая погрешность

где п — число измерений данной величины. Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются

редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению, — арифметическую средину. Для этого случая средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя:

m, вычисляемая по следующей формуле:

где б — отклонения отдельных значении измеренной величины ог арифметической средины, называемые вероятнейшими погрешностями, причем [б] = 0. Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность определяется по формуле

где т — средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формулам (5.1) или (5.2). Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды — в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается

среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность

а среднего результата из двух измерений одного измерения

где d — разность двукратно измеренных величин; n —

число разностей (двойных измерений). В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением.

Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолютное большинство случайных погрешностей (68,3%) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ±т; в интервал от 0 до ±2т попадает 95,4 %, а от 0 до ±3т — 99,7 % погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2т, а из 1000 погрешностей только три будут больше или равны 3т. На основании этого в качестве предельной погрешности "дельта"пр для данного ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая погрешность, т.е. "дельта"пр = 3т. На практике во

многих работах для повышения требований точности измерений принимают "дельта"пр = 2т. Погрешности измерений, величины которых превосходят "дельта"пр, считают грубыми.

Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной погрешности. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к значению самой измеренной величины. Относительную погрешность выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110 м при ml = 2 см равна тl/1 = 1/5500, а относительная предельная погрешность при "дельта"пр = 3т = 6 см "дельта"пр/l= 1/1800.