Оценка точности равноточных измерений. Ошибки функций измеренных велечин. Ошибка арифметической средней. Формула Бесселя

Равноточные – измерения выполняются в одинаковых условиях: приборами одинаковой точности, исполнителями одинаковой квалификации, одними и теми же методами и равное число раз, при одинаковых условиях внешней среды.

Наилучшим критерием оценки точности измерений принято считать среднюю квадратическую погрешность (СКП) измерения, определяемую по формуле Гаусса:

где D_i=li-X (Х - истинное значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

Так как, в большинстве случаях истинное значение неизвестно, то СКП определяют по формуле Бесселя:

где J_i=l_i-х (х - средняя арифметическое значение или вероятнейшее значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

СКП арифметической середины:

Эта формула показывает, что СКП арифметической середины в Ön раз меньше СКП отдельного измерения.

Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин.

Пусть известна функция общего вида

z = f (x,y,...,t),

где x,y,...,t - независимые измеренные величины, полученные с известными средними квадратическими погрешностями (СКП).

Тогда СКП функции независимых аргументов равна z корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функций по каждому из аргументов на СКП соответствующих аргументов, т.е.

(*)

Если функция имеет вид

z = x + y + ...+ t,

то

Для функции

z = k₁x + k₂y + ...+k_nt,

где k₁,k₂,k_n - постоянные величины,

Пример 1.Определить СКП превышения, полученного по формуле h=d^. tgn, если горизонтальное проложение d=100.0 м, n=4° 30', m_d=0.5 м, mn=1'.

Решение.

1.Находим частные производные

dh/dd = tgn, dh/dv=d/cos²n.

2.По формуле (*) получаем

м

Пример 2. Определите с какой СКП получена площадь здания прямоугольной формы, если его длина и ширина соответственно равные 36 и 12 м измерены с СКП 1 см.

Решение.

Площадь здания P = a ^. b.

Так как (dP/da)=b,

dP/db=a, m_a=m_b=m_a,b, то

м²

25.Принципы организации геодезических работ. Методы построения плановых геодезических сетей(триангуляция, трилатеряция, полигонометрия).

Геодезическая сеть- это совокупность закрепленных и обозначенных на местности пунктов, плановое положение и высоты которых определены в единой системе координат и высот путем геодезических измерений.

Геодезические сети строятся в научных целях, а также для изучения и освоения территории страны, в том числе для съемки и изысканий для проектирования и проведения хозяйственных мероприятий: строительства, мелиорации и т.д.

Геодезические сети подразделяются по назначению на плановые и высотные. По точности измерения, площади размещения и плотности пунктов геодезические сети подразделяются на государственные, местные - сети сгущения и съемочные.

Общие сведения о плановых геодезических сетях

Одной из главных задач геодезии является определение с заданной точностью координат сравнительно небольшого числа специально закрепленных на земной поверхности точек - геодезических пунктов.

Геодезический пункт состоит из центра, являющегося носителем координат, и геодезического знака, обозначающего положение центра на местности и обеспечивающего взаимную видимость смежных пунктов сети. Центр призван надежно и долговременно сохранять неизменным положение своей основной детали - марки центра, к метке которой относятся координаты пункта.

Систему геодезических пунктов, положение которых определено в общей для них системе геодезических координат, называют плановой геодезической сетью.

Для определения координат пунктов сети между ними измеряют расстояния и углы. Отрезки линий, ограниченные геодезическими пунктами, вдоль которых измеряется длина или направление, называют сторонами сети.

Каждый следующий пункт геодезической сети, начиная со второго, должен быть связан с предшествующими пунктами не менее чем двумя измеренными элементами (горизонтальными углами, длинами сторон, дирекционными углами).

Геодезическую сеть создают таким образом, чтобы ее стороны образовывали простые геометрические фигуры, удобные для решения, т.е. определения всех их элементов, а по ним – координат вершин. Различают три основных метода построения плановых геодезических сетей.

1.Триангуляция - построение геодезической сети в виде системы треугольников, в которых измерены углы и некоторые стороны, называемые базисными, или просто базисами (рис.1).

Рис. 1. Триангуляция

В основе метода триангуляции лежит решение треугольника по стороне и двум углам - теорема синусов. Многократное последовательное применение этой теоремы к треугольникам триангуляционной цепи, в которой каждый последующий (i + 1)-й треугольник связан с предшествующим i-м общей стороной (см. рис. 1), приведет к следующим выражениям

,

где - связующая, - промежуточная стороны i-го треугольника.

2. Полигонометрия - построение геодезической сети путем измерения расстояний и углов между пунктами хода (см. рис. 2).

В полигонометрии система геодезических пунктов образует полигон-многоугольник, который может быть замкнутым или разомкнутым (рис. 2). Измеряемыми элементами являются стороны полигона и его углы или дирекционные углы .

Рис. 2. Полигонометрия

3. Трилатерация - построение геодезической сети в виде системы треугольников, в которых измерены все их стороны.

Метод трилатерации основан на возможности решения треугольника по трем его сторонам а, b, с. Углы при этом определяются по теореме косинусов. Например, для угла А между сторонами b и с можно записать

. (2)

Возможно построение плановой геодезической сети комбинированием всех трех методов.

26. Государственная плановая геодезическая сеть. Закрепление пунктов.

Государственной геодезической сетью называют геодезическую сеть, обеспечивающую распространение координат и высот на территории государства и являющуюся исходной для построения других геодезических сетей.

Работы по созданию государственной плановой сети на всей территории страны были в основном закончены к 1989 году.

Государственная плановая сеть подразделяется на сети 1, 2, 3 и 4-го классов, различающиеся между собой точностью угловых и линейных измерений и длиной сторон или плотностью пунктов.

Государственная геодезическая сеть 1-го класса строится в виде полигонов периметром 800–1000 км, образуемых триангуляционными, полигонометрическими или трилатерационными звеньями длиной порядка 200 км, расположенными по возможности вдоль меридианов и параллелей. На концах звеньев триангуляции 1-го класса измеряют базисные стороны, которые опираются на так называемые пункты Лапласа (см. рис. 5). Пункты Лапласа - это пункты, долгота и широта которых найдены из астрономических наблюдений.

В сетях триангуляции 1-го класса стороны треугольников составляют от 20 до 25 км. Допустимая погрешность в определении углов треугольника 0,7¢¢. Ошибки в определении длин сторон треугольников допускаются в пределах 7–10 см, т.е. не более 1/400 000. Общая погрешность в звене триангуляции длиной 200 км не превышает 0,6 м.

Внутри полигонов 1-го класса на нескольких пунктах 2-го класса производятся астрономические определения широты, долготы и азимута, т.е. устанавливаются пункты Лапласа.

Сеть 2-го класса, в свою очередь, заполняется сетями триангуляции 3-го и 4-го классов.

Стороны треугольников 2-го класса имеют в длину от 7 до 20 км, в среднем 13 км. Длины сторон треугольников 3-го класса составляют 5–8 км, а 4-го класса - 2–5 км.

Углы треугольников 2-го класса измеряются со средней квадратической ошибкой, не превышающей 1¢¢, на пунктах 3-го класса ошибка не должна быть более 1,5¢¢, а 4-го класса - 2¢¢.

Наряду с методом триангуляции государственная геодезическая сеть может строиться методами полигонометрии или трилатерации.

Пункты полигонометрии 3-го и 4-го классов определяются относительно пунктов полигонометрии или триангуляции высших классов проложением одиночных ходов или систем ходов, образующих узловые пункты.

Каждый пункт государственной плановой геодезической сети любого класса закрепляют на местности центром. Он создается с целью сохранения пункта геодезической сети на возможно длительное время. Конструкции центров в зависимости от физико-географической характеристики района могут быть различными.

На рис. 6,а показан центр пункта, закладываемый в районе с неглубоким промерзанием грунта (до 1,5 м). Для большей сохранности центр состоит из нескольких ярусов бетонных блоков. В каждом ярусе ось центра отмечается специальной маркой (рис. 6,б). Все марки должны располагаться на одной отвесной линии.

Рис. 6. Центр плановой геодезической сети:

а - центр:

1 - монолит; 2 - якорь; 3 - пилон; 4 - чугунная марка; 5 - опознавательный столб;

б - чугунная марка:

1 - разрез; 2 - вид торца

С целью обеспечения видимости между смежными пунктами над центрами сооружаются геодезические знаки. В зависимости от характеристик местности они могут быть различной высоты и имеют визирный цилиндр, столик для установки прибора и площадку для наблюдателя. Применяют знаки следующих типов: тур, простая пирамида, простой и сложный сигналы (рис. 7).

Туры и пирамиды сооружают в пунктах, с которых видимость на соседние пункты открывается с земли. Простые сигналы строят в тех случаях, когда для наблюдений необходим подъем прибора над землей на 10 м, а сложные - более 10 м. Пирамиды и сигналы могут быть четырехгранными и трехгранными.

Вблизи каждого пункта государственной сети устанавливают по два ориентирных пункта для удобства привязки в последующем сетей сгущения. Ориентирные пункты устанавливаются на расстоянии 0,5–1,0 км от пункта государственной сети (в лесу расстояния сокращаются до 0,25 км). Каждый ориентирный пункт отмечается на местности центром

Вблизи каждого пункта государственной сети устанавливают по два ориентирных пункта для удобства привязки в последующем сетей сгущения. Ориентирные пункты устанавливаются на расстоянии 0,5–1,0 км от пункта государственной сети (в лесу расстояния сокращаются до 0,25 км). Каждый ориентирный пункт отмечается на местности центром (рис. 8).

Углы между основными сторонами сети и направлениями на ориентирные пункты измеряются на данном пункте с погрешностью не более ±2,5¢¢.

Необходимо отметить, что если сеть пунктов 1-го и 2-го классов по возможности сплошь покрывает территорию страны, то сети 3-го и особенно 4-го классов развиваются по мере надобности, например, для обеспечения топографических съемок.