Расчет случайных погрешностей

Ижевский государственный технический университет

Кафедра «Управление качеством»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по дисциплине

«метрология, стандартизация и сертификация»

Для расчетно-графической работы

«ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ»

Год

Содержание

1. Погрешности измерений

2. Расчет погрешностей

3. Расчет промахов и грубых погрешностей

4. Расчет случайной погрешности средствами Excel

5. Задания

Погрешности измерений

Никакие измерения не могут быть абсолютно точными, поэтому при любом измерении, измеренное значение величины всегда отличается от ее истинного значения.

Задачей экспериментатора является не только нахождение самой величины, но и оценка допущенной при измерении погрешности. В зависимости от свойств и причин возникновения различают систематические и случайные погрешности и промахи.

Систематическими называются погрешности, которые при многократных измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов, остаются постоянными.

Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Они соответствуют отклонению измеренного значения от истинного всегда в одну сторону.

Систематические погрешности могут быть обусловлены, во-первых, неисправностью или неправильной работе на используемых приборах (например, неправильной установкой “нуля”). Во-вторых, их причиной может быть несовершенство используемой методики измерения или неучет постоянных факторов, влияющих на исследуемое явление. Например, можно получать завышенные значения температуры плавления кристалла, если проводить измерения при повышенном внешнем давлении.

Помимо погрешностей, возникающих в процессе измерений, систематическими являются погрешности, связанные с применением приближенных формул, и ошибки, обусловленные отличием реального объекта от принятой модели.

Приборной погрешностью называется разность между показаниями любого прибора и истинным значением измеряемой величины. Она может содержать случайную и систематическую составляющие.

Промахи (или грубые погрешности) проявляются обычно в резком отклонении результата отдельного измерения от остальных. Промахи обусловлены главным образом недостаточным вниманием экспериментатора или неисправностями средств измерения. Результаты таких измерений отбрасываются.

Случайными называются погрешности, которые при многократных измерениях в одинаковых условиях изменяются непредсказуемым образом.

Случайные ошибки обусловлены множеством неконтролируемых причин, действие которых неодинаково в каждом опыте. В результате этого при измерении одной и той же величины несколько раз подряд в одинаковых условиях получается целый ряд значений этой величины, отличающихся от истинного значения случайным образом.

Расчет случайных погрешностей

Природа случайных погрешностей может быть различной: флуктуации нулевого положения указателя измерительного прибора; несовершенство органов чувств экспериментатора (например, невозможность включить секундомер точно в нужный момент);случайные неконтролируемые изменения внешних воздействий - температуры, влажности, давления; наводки в электрической цепи и т.д., которые практически невозможно учесть.

Пусть некоторая величина X измеряется N раз:

.

Задача обработки экспериментальных данных результатов измерений заключается в определении границы интервала, в котором заключено истинное значение измеряемой величины.

Принята следующая форма записи результата измерений какой-либо величины:

.

За наиболее вероятное значение величины X принимают среднее арифметическое значение результатов измерений:

.

Чем больше число измерений, тем ближе среднее значение к истинному.

При наличии в измерениях случайной погрешности, абсолютная погрешность по методу Стьюдента определяется следующим образом

,

,

где – стандартное отклонение, – коэффициент Стьюдента, – надежность, величина, равная вероятности с которой доверительный интервал включает в себя истинное значение величины X.

Для примера обозначим на числовой оси точками результаты. Они группируются вокруг средней величины .

[ ( ) ]

Круглыми скобками обозначим доверительный интервал, внутри которого находятся 5 экспериментальных значений из 10, т.е. доверительная вероятностьP 0,5. Квадратным скобкам соответствует доверительный интервал для вероятности P 0,8.

В лабораториях физического практикума принято значение надежности .

КоэффициентСтьюдента является поправочным и применяется для корректировки доверительного интервала при небольшом числе измерений (N<30).

КоэффициентСтьюдента может быть рассчитан в рамках теории вероятности.

N													
	12.7	4.3	3.2	2.8	2.6	2.4	2.4	2.3	2.3	2.1	2.1	2.0	2.0

Приводимый способ расчетапри небольшом (n = 3¸10) числе измерений всегда носит оценочный характер.

Если устремить число измерений к бесконечности, а интервал h  к нулю, то гистограмма переходит в пределе в непрерывную кривую, которая является кривой распределения погрешностей. При некоторых условиях, которые обычно выполняются при проведении измерений, эта кривая представляет собой график функции Гаусса, имеющей следующий вид:

(рис.2)

(1)

где параметр  определяет ширину распределения. Несколько кривых Гаусса для разных значений параметра σ показаны на рис.2.

Третий тип погрешностей, с которыми приходится иметь дело  грубые погрешности или промахи. Под грубой погрешностью измерения понимается погрешность, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях. Она может быть сделана вследствие неправильного применения прибора, неверной записи показаний прибора, ошибочно прочитанного отсчета, неучета множителя шкалы и т.п.