Оценка погрешностей косвенных измерений. Чтобы понять основной принцип оценки погрешностей косвенных измерений

Чтобы понять основной принцип оценки погрешностей косвенных измерений, следует проанализировать источник этих погрешностей.

Пусть физическая величина Y есть функция непосредственно измеряемой величины х,

Y = f(x).

Величина х имеет погрешность Dх. Именно эта погрешность Dх – неточность в определении аргумента x является источником погрешности физической величины Y, являющейся функцией f(x).

Приращение Dх аргумента х определяет собой приращение функции . Погрешность аргумента Dх косвенно определяемой физической величины Y определяет собой погрешность , где Dх – погрешность физической величины, найденной в прямых измерениях.

Если физическая величина является функцией нескольких непосредственно

измеряемых величин , то, проводя аналогичные рассуждения для каждого аргумента x_i, получим:

Очевидно, что погрешность, рассчитанная по этой формуле, является максимальной и соответствует ситуации, когда все аргументы изучаемой функции имеют одновременно максимальное отклонение от своих средних значений. На практике такие ситуации маловероятны и реализуются крайне редко, поэтому следует рассчитывать

погрешность результата косвенных измерений .

(Эта формула доказывается в теории ошибок [3,4,5].)

В реальных измерениях относительная точность различных величин х_iможет сильно отличаться. При этом, если для одной из величин x_m выполняется неравенство , где i=1,…,m-1,m+1,…,n, то можно считать, что погрешность косвенно определенной величины DY определяется погрешностью Dx_m:

Пример.

При измерении скорости V полета пули методом вращающихся дисков, скорость пули V=360lN/j есть результат косвенных измерений, где l – расстояние между дисками, , N – число оборотов в единицу времени, известное с точностью , j - угол поворота измеренный в градусах , следовательно, для углов поворота j £ 70^о определяющим точность фактором будет погрешность угла поворота дисков.

Итак, при вычислении погрешности косвенно определяемой физической величины надо прежде всего выявить наименее точно определенную в прямых измерениях величину и, если , считать , пренебрегая погрешностями остальных х_i i¹m.

Рассмотрим наиболее распространенные случаи взаимосвязи физических величин.

1. Степенная зависимость , где p, q - любые числа.

В данном случае проще сначала вычислить относительную погрешность .

1) Прологарифмируем , получим

2) Продифференцируем это равенство: .

3) Перейдем от бесконечно малых приращений – дифференциалов к конечным приращениям Dх₁, Dх₂: .

4) Учтем, что Dх₁ и Dх₂ – величины алгебраические и могут быть как положительными, так и отрицательными. Нашей же целью является выявление максимально возможной погрешности, поэтому нас будет интересовать наихудшая ситуация, которая реализуется при Dх₁> 0, а Dх₂< 0. Вследствие этого при вычислении погрешности δY все минусы заменяются на плюсы, и мы имеем: .

Это выражение дает завышенную погрешность. Более точная формула полученная из теории ошибок [3,4,5] имеет вид: .

5) Следует заметить, что чем больше по модулю показатель степени, тем большую погрешность вносит данная переменная в погрешность результата. В данном случае следует также сравнить между собой и найти среди них максимальное значение . Если для всех остальных i¹m, то , и абсолютная погрешность .

2. Логарифмическая зависимость .

, переходя от дифференциалов к конечным приращениям, имеем:

.

В этом случае абсолютная погрешность DY пропорциональна относительной погрешности непосредственно измеряемой величины x. Если Dx = const, то с ростом х DYбудет уменьшаться (вот почему графики логарифмических зависимостей как правило отличаются неравновеликими погрешностями DY).

Пример.

При определении тройной точки нафталина необходимо построить зависимость ln P от обратной температуры, где Р давление в мм ртутного столба, определенное с точностью до 1 мм рт. ст.

Рис 1.

Итак, для логарифмических функций вида Y = A log_ax проще сразу вычислять абсолютную погрешность, которая пропорциональна относительной погрешности переменной x :