Пирамида. Усеченная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани) (рис. 15). Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром.

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рис. 15

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рис. 16

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой. Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

где V – объем;

Sосн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

где p – периметр основания;

hа – апофема;

H – высота;

Sполн – площадь полной поверхности;

Sбок – площадь боковой поверхности;

Sосн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рис. 17

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru (4)

где S1, S2 – площади верхнего и нижнего оснований;

Sполн – площадь полной поверхности;

Sбок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

где p1 , p2 – периметры оснований;

hа – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

 
  Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рис. 18

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru и Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru т.е. Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС). Угол наклона бокового ребра (например SB) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD. Чтобы найти тангенс Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru необходимо знать катеты SO и OB. Пусть длина отрезка BD равна 3а. Точкой О отрезок BD делится на части: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru и Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Из Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru находим SO: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Из Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru находим: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Ответ: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru см и Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru и Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Ответ: 112 см3.

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

 
  Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рис. 19

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru где А1Е перпендикуляр из точки А1 на плоскость нижнего основания, A1D – перпендикуляр из А1 на АС. А1Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru так как Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru (см. рис. 20) и Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru С другой стороны ОК – радиус вписанной в Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru окружности и Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru ОМ – радиус вписанной в Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru окружности:

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru MK = DE.

По теореме Пифагора из Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Площадь боковой грани: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рис. 20

Ответ: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru и площади трапеции ABCD.

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рис. 21

Аналогично Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru и значит Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD. Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рис. 22

Так как в трапецию можно вписать окружность, то Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru или Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Из Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru по теореме Пифагора имеем

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Тогда Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Площадь трапеции: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Значит,

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Ответ: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пример 5.Основание пирамиды – равносторонний треугольник со стороной а. Одна из боковых граней – равнобедренный прямоугольный треугольник, плоскость которого перпендикулярна плоскости основания. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 23).

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рис. 23

Площадь боковой поверхности данной пирамиды SABC состоит из суммы площадей ее боковых граней. Боковые грани – треугольники, один из которых прямоугольный и равнобедренный ( Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru ), два других – равные треугольники Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Рассмотрим Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru – по условию. Вычислим его площадь: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Так как Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru равнобедренный, то Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru а так как Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru то Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru и следовательно в Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Тогда Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рассмотрим Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru SE найдем из Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru По теореме Пифагора имеем Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Найдем DE. Для этого рассмотрим равносторонний треугольник основания (рис. 24). Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru В Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru отрезок DE является средней линией, значит, Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru Находим SE:

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Рис. 24

Теперь Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Ответ: Пирамида. Усеченная пирамида - student2.ru

Наши рекомендации