Построение гистограммы
Для уточнения формы ЗРВ прибегают к построению гистограмм. Гистограмма представляет собой ступенчатый график, состоящий из прямоугольников, у которых основаниями служат частные интервалы Δxi на оси абсцисс, а площади равны частотам вариантов, попадающих в эти интервалы.
Для построения гистограммы необходимо выбрать оптимальное число интервалов группирования экспериментальных данных. Необходимость оптимизации числа интервалов связана, в первую очередь, с требованием построения гистограммы, наиболее близкой к действительной кривой плотности распределения вероятности.
Для выполнения задания выбран вариант выбора числа интервалов группирования экспериментальных данных из таблицы 2.6 [13].
Таблица 2.6 − Рекомендуемое число интервалов для построения гистограмм в зависимости от числа отсчетов
| Число отсчетов | Рекомендуемое число интервалов |
| 40 − 100 | 7 − 9 |
| 101 − 500 | 8 − 12 |
| 501 − 1000 | 10 − 16 |
| 1001 − 10000 | 12 − 22 |
При выборе конкретного числа интервалов группирования рекомендуется учитывать следующее:
1) если предполагается, что закон распределения плотности вероятности симметричный, с явно выраженной модой, то желательно, чтобы количество интервалов т было нечетным (так как при четном т и островершинном или двухмодальном симметричном распределении в центре гистограммы оказываются два равных по высоте столбца и середина кривой распределения плотности вероятности принудительно делается более плоской), если же несимметричный закон распределения плотности вероятности, то требования к нечетности количества интервалов не предъявляются;
2) интервалы должны быть равной длины (исключением могут быть первый и последний);
3) центральный интервал (при нечетном количестве интервалов) желательно располагать в середине размаха экспериментальных данных симметрично относительно середины;
4) если гистограмма оказывается явно двухмодальной, число интервалов может быть увеличено в 1,5 − 2 раза таким образом, чтобы на каждую моду приходилось бы примерно т интервалов;
5) в каждом интервале должно быть не менее 5 отсчетов (выполнение этого требования обязательно при проверке соответствия ЗРВ экспериментальным данным по критерию согласия К. Пирсона);
6) для получения гистограммы, наиболее близкой к реальному закону распределения вероятности, целесообразно построить несколько гистограмм, которые отличались бы друг от друга количеством интервалов (при этом варьирование количества интервалов должно быть в пределах рекомендуемых). Из построенных таким образом гистограмм выбирается для дальнейшего анализа гистограмма, которая отвечает максимальному числу признаков, установленных в результате предварительного анализа;
7) если какое-либо значение отсчета попадает на границу интервала группирования, то рекомендуется разделить количество этих отсчетов пополам на два соседних интервала.
Т.к. количество замеров напряжения равно 100 (четное), количество интервалов принимаем равным 9.
Определить длину интервала Δx по формуле
,
где m – число интервалов гистограммы.
Определение количества значений, попавших в каждый интервал, и подсчет частоты представлены в таблице 2.7.
Таблица 2.7 – Подсчет частоты интервалов гистограммы
| № интер-вала | Границы интервала | Середина интервала | Подсчет частот | Частота, N  |
| 201-205,6 | 203,3 | 0,009 | ||
| 205,6-210,1 | 207,8 | 0,033 | ||
| 210,1-214,7 | 212,4 | 0,024 | ||
| 214,7-219,2 | 216,9 | 0,050 | ||
| 219,2-223,8 | 221,5 | 0,029 | ||
| 223,8-228,3 | 226,1 | 0,035 | ||
| 228,3-232,9 | 230,6 | 0,026 | ||
| 232,9-237,4 | 235,2 | 0,004 | ||
| 237,4-242,0 | 239,7 | 0,009 | ||
| Итого |
Построить гистограмму распределения, нанося по оси абсцисс границы интервалов, а по оси ординат — шкалу для частот. Для каждого класса строят прямоугольник с основанием, равным ширине интервала, и с высотой, соответствующей частоте попадания данных в этот интервал или частости (относительному количеству отсчетов, приходящихся на данный интервал).
Рисунок 10 – Гистограмма, построенная по данным таблицы 2.7 (m=9)
На рисунке 10, соответствующем таблице 2.7, ось абсцисс разбита на 9 интервала длиной Δx=4,56.
Данные для построения диаграммы при m=7 представлены в таблице 2.8.
Таблица 2.8 – Подсчет частоты интервалов гистограммы
| № интер-вала | Границы интервала | Середина интервала | Подсчет частот | Частота, N |
| 201-206,9 | 203,9 | 0,009 | ||
| 206,9-212,7 | 209,8 | 0,032 | ||
| 212,7-218,6 | 215,6 | 0,044 | ||
| 218,6-224,4 | 221,5 | 0,031 | ||
| 224,4-230,3 | 227,4 | 0,041 | ||
| 230,3-236,1 | 233,2 | 0,007 | ||
| 236,1-242 | 239,1 | 0,007 | ||
| Итого |
Рисунок 11 – Гистограмма, построенная по данным таблицы 2.8
(m= 7)
На рисунке 10, соответствующем таблице 2.7, ось абсцисс разбита на 9 интервалов длиной Δx= 4,56, а на рисунке 11, соответствующем таблице 2.8, – на 7 интервалов: Δx = 5,86. По виду гистограмм можно предположить, что результат измерения подчиняется треугольному одномодальному закону распределения вероятности.
Далее по полученной гистограмме строится полигон. Построение осуществляется путем соединения середин верхних оснований каждого столбца гистограммы прямыми. Полигон распределения изображен на рисунке 12.
Рисунок 12 – Полигон распределения