Разложимости функции в ряд Фурье
Приведем достаточный признак сходимости ряда Фурье, т. е. сформулируем условия на заданную функцию, при выполнении которых построенный по ней ряд Фурье сходится, и выясним, как при этом ведет себя сумма этого ряда. Важно подчеркнуть, что хотя приведенный ниже класс кусочно-монотонных функций и является достаточно широким, функции, ряд Фурье для которых сходится, им не исчерпываются.
Функция называется кусочно-монотонной на отрезке
, если этот отрезок можно разбить конечным числом точек
на интервалы
на каждом из которых
монотонна, т.е. либо не убывает, либо не возрастает (см. рис.1).
Примеры
1. Функция является кусочно-монотонной на интервале
, так как этот интервал можно разбить на два интервала
, на первом из которых она убывает (и значит, не возрастает), а на втором возрастает (и значит, не убывает).
2. Функция кусочно-монотонна на отрезке
, так как этот отрезок можно разбить на два интервала
Теорема №3
Функция , кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке
, может иметь на нем только точки разрыва первого рода.
Доказательство
Пусть, например, точка разрыва функции
Тогда в силу ограниченности функции
и монотонности по обе стороны от точки с существуют конечные односторонние пределы
Это означает, что точка c есть точка разрыва первого рода (рис.2). Что и требовалось доказать.
Теорема №4
Если периодическая функция с периодом 2π кусочно-монотонна и ограничена на отрезке
, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке x этого отрезка, причем для суммы
Этого ряда выполняются равенства:
1.
2.
3.
Примеры
3. Функция периода
, определенная на интервале
равенством
, удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому её можно разложить в ряд Фурье. Находим для неё коэффициенты Фурье:
Ряд Фурье для такой функции имеет вид
4. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале
.
Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 4. Найдем коэффициенты Фурье, используя свойство аддитивности определенного интеграла.
Следовательно, ряд Фурье имеет следующий вид:
На концах отрезка , т.е. в точках
, которые являются точками разрыва первого рода, будем иметь
.
Замечание.Если в найденном ряде Фурье положить , то получим
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Функция , определенная на отрезке
, называется четной, если
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция , определенная на отрезке
, называется нечетной, если
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Примеры
1. Функция является четной на отрезке
, так как
для всех
2. Функция является нечетной на отрезке
, так как
для всех
3. Функция , не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как
.
Пусть функция , удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке
. Тогда
т.е. является четной функцией, а
- нечетной. Поэтому коэффициенты Фурье четной функции
будут равны
Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид
Если нечетная функция на отрезке
, то произведение
будет нечетной функцией, а произведение
четной функцией. Поэтому будем иметь
Следовательно, ряд Фурье нечетной функции имеет вид
Примеры
1. Разложить в ряд Фурье на отрезке функцию
>>Решение <<
2. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию
.
>>Решение<<