Аппроксимация функции по Фурье

Пусть функция задана в интервале . В этом случае (при наличии у нее соответствующих свойств интегрируемости) можно построить ряд Фурье этой функции, а именно объект

, (15.1)

где:

. (15.2)

Известно, что для непрерывной функции этот ряд сходится в каждой точке интервала и притом - к значению в этой точке функции . Если суммирование в ряду Фурье прервать на каком-то слагаемом, то возникнет приближенное равенство:

,

которое тем точнее, чем больше число слагаемых в сумме. В этом и состоит аппроксимация функции по Фурье.

Практически организация расчетов при аппроксимации происходит так: задается та степень точности e, с которой надо приблизить число с помощью частичных сумм ряда (16.1.1); затем вычисляют, постепенно наращивая количество слагаемых, частичные суммы ряда (16.1.1) и делают это до тех пор, пока два раза подряд не получится при суммировании одно и то же с точностьюe число; его и принимают за нужное приближение. Естественно, что при вычислении частичных сумм ряда (16.1.1) требуются коэффициенты , которые вычисляются с помощью численного интегрирования через определяющие равенства (15.2).

Описанная ситуация обобщается на случай функции , заданной не на интервале , а на произвольном интервале . В этом случае (для непрерывной функции ) имеет место равенство

, (15.3)

внутри интервала , где:

(15.4)

Принято выделять случаи четной и нечетной функции, так как при этом выражения (15.3) и (15.4) существенно упрощаются, а именно:

если на интервале функция четная, то для всех имеют место равенства и:

; (15.5)

если на интервале функция нечетная, то для всех имеют место равенства и:

(15.6)

Это обстоятельство подсказывает выход из положения, при котором функция задана не на интервале , а только на интервале : функцию можно продолжить на весь интервал четным или нечетным образом, а затем произвести разложение Фурье, соответственно по косинусам (случай (15.5)) или по синусам (случай (15.6)).

2. Преобразование Фурье

Так называется действие, с помощью которого по заданной в интервале функции строится система чисел (15.2). По традиции, именно эти числа также обозначают словами «преобразование Фурье» данной функции. При этом числа называются косинус-преобразованием Фурье функции , а числа называются синус-преобразованием Фурье функции . У преобразования Фурье функции есть множество свойств и применений; в частности, известен ряд прикладных вопросов, в которых ту или иную информацию о функции удается получить только через ее преобразование Фурье, которое в таких ситуациях удается получить некоторыми косвенными средствами.

Рассмотрим следующий частный случай. Функция рассматривается на интервале: (-p,p) и притом только в его отдельных точках при некотором заранее заданном и фиксированном числе . Значения функции в этих точках считаются известными; обозначим .

В равенстве = положим . Получим

(15.7)

Проанализируем соотношение (15.7). Если произвольное целое неотрицательное число разделить с остатком на число , то получится соотношение , где для целых имеются лишь следующие возможности:

.

С учетом периодичности косинуса и синуса в выражении (15.7) можно привести подобные члены, в результате чего получится:

, (15.8)

где:

,

Отметим, что теперь все суммы в (15.8) - конечны. Известен следующий факт о тригонометрических суммах:

для всех чисел имеют место равенства

Если обе части соотношения (15.8) умножить на и затем просуммировать по , то, с учетом только что сказанного, легко получить, что

; (15.9)

а если обе части (15.9) умножить на и, с учетом того же утверждения о суммировании косинусов и синусов, получим соотношение:

(15.10)

причем в (15.9) и (15.10) . Числа , называются дискретным преобразованием Фурье функции . Если в равенстве (15.8) заменить на произвольный , то оно из точного станет приближенным. Его правую часть в этом случае называют тригонометрической интерполяцией функции .

15.2 Быстрое преобразование Фурье.

В предыдущем пункте было описано дискретное преобразование Фурье - сопоставление набору значений функции набора коэффициентов . Процесс этого сопоставления в некоторых случаях можно ускорить, специальным образом организовав соответствующие суммирования.

Обратимся, для определенности, к формуле (15.9). Предположим, что число является составным, т.е. при натуральных . Разделим с остатком число на и число (индекс суммирования) на ; получим: . Заметим, что в образовавшихся обозначениях суммирование по эквивалентное повторному суммированию по схеме:

;

преобразуем теперь суммируемое выражение:

введем обозначения:

;

тогда выражение (15.10) представляется в виде:

.

Совершенно аналогично можно провести рассуждения с коэффициентом , в результате чего снова возникнут те же ; в итоге получится:

отсюда возникает соотношение:

Отсюда возникает иная возможность вычисления дискретного преобразования Фурье, отличная от прямого вычисления: надо сначала найти выражения , а затем уже сами числа ; потребуется, как нетрудно заметить, меньше арифметических операций. Отсюда и название - «Быстрое преобразование Фурье».