Конечная или бесконечная система функций

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

интегрируемых на отрезке Конечная или бесконечная система функций - student2.ru , называется ортогональной системой на этом же отрезке, если для любых номеров Конечная или бесконечная система функций - student2.ru таких, что Конечная или бесконечная система функций - student2.ru выполняется равенство

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Теорема №1.

Тригонометрическая система

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

ортогональна на отрезке Конечная или бесконечная система функций - student2.ru .

Доказательство

При любом целом Конечная или бесконечная система функций - student2.ru имеем

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

С помощью известных формул тригонометрии

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

для любых натуральных Конечная или бесконечная система функций - student2.ru находим:

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Наконец, в силу формулы

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

для любых целых Конечная или бесконечная система функций - student2.ru получаем

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

При Конечная или бесконечная система функций - student2.ru имеем

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Что и требовалось доказать.

Тригонометрический ряд Фурье

Поставим себе задачей вычислить коэффициенты Конечная или бесконечная система функций - student2.ru тригонометрического ряда (1), зная функцию Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Теорема №2.

(1)
(2)
Пусть равенство

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

имеет место для всех значений x, причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на отрезке Конечная или бесконечная система функций - student2.ru . Тогда справедливы формулы:

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Доказательство

Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и интегрируемость функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru . Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1) можно почленно интегрировать.

Имеем

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

или

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

откуда и следует первая из формул (2) для Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru Умножим теперь обе части равенства (1) на функцию Конечная или бесконечная система функций - student2.ru произвольное натуральное число:

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Ряд (3), как и ряд (1), сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно,

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Все интегралы в правой части, кроме одного, который получается при Конечная или бесконечная система функций - student2.ru , равны нулю в силу ортогональности тригонометрической системы. Поэтому

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

откуда

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Аналогично, умножая обе части равенства (1) на Конечная или бесконечная система функций - student2.ru и интегрируя от Конечная или бесконечная система функций - student2.ru , получим

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

откуда

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Что и требовалось доказать.

Пусть дана произвольная периодическая функция Конечная или бесконечная система функций - student2.ru периода 2π, интегрируемая на отрезке Конечная или бесконечная система функций - student2.ru . Можно ли её представить в виде суммы некоторого сходящегося тригонометрического ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно вычислить постоянные Конечная или бесконечная система функций - student2.ru и Конечная или бесконечная система функций - student2.ru .

Тригонометрический ряд

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Коэффициенты Конечная или бесконечная система функций - student2.ru которого определяется через функцию Конечная или бесконечная система функций - student2.ru по формулам

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Называется тригонометрическим рядом Фурье функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru , а коэффициенты Конечная или бесконечная система функций - student2.ru , определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Каждой интегрируемой на отрезке Конечная или бесконечная система функций - student2.ru функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (2). Однако если от функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке Конечная или бесконечная система функций - student2.ru , то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства.

Замечание.Часто требуется разложить в тригонометрический ряд функцию Конечная или бесконечная система функций - student2.ru , определенную только на отрезке Конечная или бесконечная система функций - student2.ru и, следовательно, не являющуюся периодической. Так как в формулах (2) для коэффициентов Фурье интегралы вычисляются по отрезку Конечная или бесконечная система функций - student2.ru то такой функции тоже можно написать тригонометрический ряд Фурье. Вместе с тем, если продолжить функцию Конечная или бесконечная система функций - student2.ru периодически на всю ось Оx, то получим функцию Конечная или бесконечная система функций - student2.ru на интервале Конечная или бесконечная система функций - student2.ru :

Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Эту функцию Конечная или бесконечная система функций - student2.ru называют периодическим продолжением функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru . При этом функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru не имеет однозначного определения в точках Конечная или бесконечная система функций - student2.ru

Ряд Фурье для функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru тождественен ряду Фурье для функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru . К тому же, если ряд Фурье для функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru с отрезка Конечная или бесконечная система функций - student2.ru на всю ось Ox . В этом смысле говорить о ряде Фурье для функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru , определенной на отрезке Конечная или бесконечная система функций - student2.ru , равносильно тому, что говорить о ряде Фурье для функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru , являющейся периодическим продолжением функции Конечная или бесконечная система функций - student2.ru на всю ось Ox. Отсюда следует, что признаки сходимости рядов Фурье достаточно сформулировать для периодических функций.

Достаточные условия

Наши рекомендации