Ортогональность тригонометрической системы

Тригонометрические ряды

Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , определенная на неограниченном множестве Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , называется периодической, если существует число Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru такое, что для каждого Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru выполняется условие:

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , где Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Замечание: Наименьшее из таких чисел Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru называется периодом функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Примеры

1. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , определенная на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , является периодической, так как существует число Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru такое, что для всех Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru выполняется условие Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Таким образом, функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru имеет период Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . Аналогично исследуется функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

2. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , определенная на множестве Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru чисел Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru является периодической, так как существует число Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru а именно, Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru такое, что для Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru имеем Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Функциональный ряд вида

(1)
Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

называется тригонометрическим рядом, а постоянные Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru называются коэффициентами тригонометрического ряда (1).

Частичные суммы Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru тригонометрического ряда (1) являются линейными комбинациями функций из системы функций Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru которая называется тригонометрической системой. Так как членами этого ряда являются периодические функции с периодом Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , то в случае сходимости ряда (1) его сумма Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru будет периодической функцией с периодом Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru :

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Разложить периодическую функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru с периодом Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru в тригонометрический ряд (1) означает найти сходящийся тригонометрический ряд, сумма которого равна функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Ортогональность тригонометрической системы

Функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , непрерывные на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , называются ортогональными на этом отрезке, если выполнено условие

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Примеры

Функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru ортогональны на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , так как

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Конечная или бесконечная система функций

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

интегрируемых на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , называется ортогональной системой на этом же отрезке, если для любых номеров Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru таких, что Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru выполняется равенство

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Теорема №1.

Тригонометрическая система

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

ортогональна на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Доказательство

При любом целом Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru имеем

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

С помощью известных формул тригонометрии

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

для любых натуральных Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru находим:

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Наконец, в силу формулы

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

для любых целых Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru получаем

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

При Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru имеем

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Что и требовалось доказать.

Тригонометрический ряд Фурье

Поставим себе задачей вычислить коэффициенты Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru тригонометрического ряда (1), зная функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Теорема №2.

(1)
(2)
Пусть равенство

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

имеет место для всех значений x, причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . Тогда справедливы формулы:

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Доказательство

Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и интегрируемость функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1) можно почленно интегрировать.

Имеем

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

или

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

откуда и следует первая из формул (2) для Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Умножим теперь обе части равенства (1) на функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru произвольное натуральное число:

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ряд (3), как и ряд (1), сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно,

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Все интегралы в правой части, кроме одного, который получается при Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , равны нулю в силу ортогональности тригонометрической системы. Поэтому

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

откуда

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Аналогично, умножая обе части равенства (1) на Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru и интегрируя от Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , получим

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

откуда

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Что и требовалось доказать.

Пусть дана произвольная периодическая функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru периода 2π, интегрируемая на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . Можно ли её представить в виде суммы некоторого сходящегося тригонометрического ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно вычислить постоянные Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru и Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Тригонометрический ряд

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Коэффициенты Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru которого определяется через функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru по формулам

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Называется тригонометрическим рядом Фурье функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , а коэффициенты Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Каждой интегрируемой на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (2). Однако если от функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства.

Замечание.Часто требуется разложить в тригонометрический ряд функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , определенную только на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru и, следовательно, не являющуюся периодической. Так как в формулах (2) для коэффициентов Фурье интегралы вычисляются по отрезку Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru то такой функции тоже можно написать тригонометрический ряд Фурье. Вместе с тем, если продолжить функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru периодически на всю ось Оx, то получим функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru :

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Эту функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru называют периодическим продолжением функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . При этом функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru не имеет однозначного определения в точках Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ряд Фурье для функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru тождественен ряду Фурье для функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . К тому же, если ряд Фурье для функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru с отрезка Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru на всю ось Ox . В этом смысле говорить о ряде Фурье для функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , определенной на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , равносильно тому, что говорить о ряде Фурье для функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , являющейся периодическим продолжением функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru на всю ось Ox. Отсюда следует, что признаки сходимости рядов Фурье достаточно сформулировать для периодических функций.

Достаточные условия

Примеры

1. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru является кусочно-монотонной на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , так как этот интервал можно разбить на два интервала Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , на первом из которых она убывает (и значит, не возрастает), а на втором возрастает (и значит, не убывает).

2. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru кусочно-монотонна на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , так как этот отрезок можно разбить на два интервала Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Теорема №3

Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , может иметь на нем только точки разрыва первого рода.

Доказательство

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Пусть, например, Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru точка разрыва функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Тогда в силу ограниченности функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru и монотонности по обе стороны от точки с существуют конечные односторонние пределы

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Это означает, что точка c есть точка разрыва первого рода (рис.2). Что и требовалось доказать.

Теорема №4

Если периодическая функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru с периодом 2π кусочно-монотонна и ограничена на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , то ее ряд Фурье сходится в каждой точке x этого отрезка, причем для суммы

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Этого ряда выполняются равенства:

1. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

2. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

3. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Примеры

3. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru периода Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , определенная на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru равенством Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому её можно разложить в ряд Фурье. Находим для неё коэффициенты Фурье:

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ряд Фурье для такой функции имеет вид

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

4. Разложить функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru в ряд Фурье на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 4. Найдем коэффициенты Фурье, используя свойство аддитивности определенного интеграла.

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Следовательно, ряд Фурье имеет следующий вид:

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

На концах отрезка Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , т.е. в точках Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , которые являются точками разрыва первого рода, будем иметь Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Замечание.Если в найденном ряде Фурье положить Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , то получим

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Примеры

1. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru является четной на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , так как Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru для всех Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

2. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru является нечетной на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , так как Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru для всех Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

3. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Пусть функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . Тогда

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

т.е. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru является четной функцией, а Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru - нечетной. Поэтому коэффициенты Фурье четной функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru будут равны

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Если Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru нечетная функция на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , то произведение Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru будет нечетной функцией, а произведение Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru четной функцией. Поэтому будем иметь

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Следовательно, ряд Фурье нечетной функции имеет вид

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Примеры

1. Разложить в ряд Фурье на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

>>Решение <<

2. Разложить в ряд Фурье на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

>>Решение<<

Примеры

1. Функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.

>>> решение <<<

Примеры

1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , заданную на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru формулой Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

>>Решение и рисунок<<

Теорема №5

Если функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru имеет период Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru и интегрируема, то для любого числа a выполняется равенство

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

т.е. интеграл по отрезку, длина которого равная периоду T, имеет одно и то же значение независимо от положения этого отрезка на числовой оси.

Доказательство

В самом деле,

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Делаем замену переменной во втором интеграле, полагая Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Это дает

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

и следовательно,

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Что и требовалось доказать.

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Геометрически это свойство означает, что в случае Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru площади заштрихованных на рис.10 областей равны между собой.

Примеры

2. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru является периодической с периодом Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru В силу нечетности данной функции без вычисления интегралов можно утверждать, что при любом a

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

>>> тут еще замечание должно быть <<<

3. Разложить в ряд Фурье заданную на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru функцию

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

с периодом 2π.

>> решение <<

Примеры

1. Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода 2π

…. решение….

Ряд Фурье

Введем обозначение

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

и назовем величину Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru нормой функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Если в ортогональной системе Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru для всякого n имеем Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , то система функций Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru называется ортонормированной.

Если система Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru ортогональна, то система Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru ортонормирована.

Примеры

1.

2.

3.

Система функций Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru называется ортогональной на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru с весом Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , если:

1. для всех Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru существуют интегралы

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

2.

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Здесь предполагается, что весовая функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru определена и положительна всюду на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru за возможным исключением конечного числа точек, где Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru может обращаться в нуль.

Примеры

4.

5.

  (4)
9.2. Ряд Фурье по ортогональной системе

Пусть Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru ортогональная система функций в интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru и пусть ряд

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

сходится на этом интервале к функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru :

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

  (5)
Умножая обе части последнего равенства на Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru фиксировано) и интегрируя по xот a до b, в силу ортогональности системы Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru получим, что

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

или

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

  (6)
Эта операция имеет, вообще говоря, чисто формальный характер. Тем не менее, в некоторых случаях, например, когда ряд (4) сходится равномерно, все функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru непрерывны и интервал Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru конечен, эта операция законна. Но для нас сейчас важна именно формальная трактовка. Итак, пусть задана функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . Образуем числа Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru по формуле (5) и напишем

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ряд, стоящий в правой части, называется рядом Фурье функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru относительно системы Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . Числа Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru называются коэффициентами Фурье функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru по этой системе. Знак Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru в формуле (6) означает лишь, что числа Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru связаны с функцией Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более сходится к функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru ). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru ?

Сходимость в среднем

Последовательность Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , сходится к элементу Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru в среднем, если

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

или, что то же, Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru норма в пространстве Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Теорема №6

Если последовательность Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru сходится равномерно, то она сходится и в среднем.

Доказательство

Пусть последовательность Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru сходится равномерно на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru к функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . Это означает, что для всякого Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru при всех достаточно больших n имеем

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Следовательно,

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

откуда вытекает наше утверждение. Что и требовалось доказать.

Обратное утверждение неверно: последовательность Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru может сходиться в среднем к Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , но не быть равномерно сходящейся.

Пример

Рассмотрим последовательность….

Равенство Парсеваля

  (12)
Для некоторых систем Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru знак неравенства в формуле (10) может быть заменен (для всех функций Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru ) знаком равенства. Получаем равенство

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты).

Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru ряда Фурье функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru сходятся к функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru в среднем, т.е. по норме пространства Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Ортонормированная система Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru называется полной в Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , если всякую функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

с достаточно большим числом слагаемых, т.е. если для всякой функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru и для любого Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru найдется натуральное число Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru и числа Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru такие, что

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Теорема №7

Если ортонормированная система Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru полна в пространстве Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , то ряд Фурье всякой функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru по этой системе сходится к Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru в среднем, т.е. по норме Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Можно показать, что тригонометрическая система

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

полна в пространстве Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Отсюда следует утверждение.

Теорема №8

Если функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , то её тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем.

Упражнения

Разложите в ряд Фурье в интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru функцию.

1. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

2. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

3. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

4. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

5. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

6. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

7. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

8. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

9. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

10. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

11. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Разложите в ряд Фурье функцию.

12. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , заданную в интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , продолжив её в интервал Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru :

a) четным образом;

b) нечетным образом.

13. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , заданную на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

14. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , заданную на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Разложите в ряд Фурье по синусам функцию.

15. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , заданную на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

16. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , заданную на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Ответы

1. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 2. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 3. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 4. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 5. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 6. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 7. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 8. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 9. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 10. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 11. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 12. а) Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru ; б) Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 13. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 14. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 15. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . 16. Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Тригонометрические ряды

Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , определенная на неограниченном множестве Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , называется периодической, если существует число Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru такое, что для каждого Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru выполняется условие:

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , где Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Замечание: Наименьшее из таких чисел Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru называется периодом функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Примеры

1. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , определенная на интервале Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , является периодической, так как существует число Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru такое, что для всех Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru выполняется условие Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru Таким образом, функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru имеет период Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru . Аналогично исследуется функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

2. Функция Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , определенная на множестве Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru чисел Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru является периодической, так как существует число Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru а именно, Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru такое, что для Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru имеем Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Функциональный ряд вида

(1)
Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

называется тригонометрическим рядом, а постоянные Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru называются коэффициентами тригонометрического ряда (1).

Частичные суммы Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru тригонометрического ряда (1) являются линейными комбинациями функций из системы функций Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru которая называется тригонометрической системой. Так как членами этого ряда являются периодические функции с периодом Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , то в случае сходимости ряда (1) его сумма Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru будет периодической функцией с периодом Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru :

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Разложить периодическую функцию Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru с периодом Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru в тригонометрический ряд (1) означает найти сходящийся тригонометрический ряд, сумма которого равна функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru .

Ортогональность тригонометрической системы

Функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , непрерывные на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , называются ортогональными на этом отрезке, если выполнено условие

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Примеры

Функции Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru ортогональны на отрезке Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru , так как

Ортогональность тригонометрической системы - student2.ru

Наши рекомендации