Основные формулы сферической тригонометрии

Задачей сферической тригонометрии является решение сферического треугольника, то есть вычисление его неизвестных элементов через заданные (известные).

Известно, что для нахождения какого-либо угла или стороны треугольника необходимо, чтобы три любых других его элемента были известны (заданы).

Рассмотрим (без вывода) четыре основные теоремы сферической тригонометрии, устанавливающие необходимую аналитическую зависимость между элементами сферического треугольника.

I. Формула косинуса стороны.

Эта формула связывает между собой все три стороны и один из углов сферического треугольника. Для любого сочетания таких четырех элементов установлена зависимость, что ...

«… косинус стороны сферического треугольника равняется произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними…».

Рис. 2.2. Сферический треугольник

Применительно к стороне а (рис. 2.2) сферического треугольника АВМ, руководствуясь теоремой косинуса стороны, можем записать:

cos a = cos b · cos m + sin b · sin m · cos A

Для сторон b и m зависимость между элементами треугольника выразится формулами:

(2.1)

II. Формула синусов связывает между собой противолежащие элементы сферического треугольника → углы и стороны.

«… во всяком сферическом треугольнике синусы сторон относятся как синусы противолежащих углов…».

Для сферического треугольника АВМ (рис. 2.2) можем записать соотношения:

или

или

(2.2)

Формула синусов применяется для вычисления одного из элементов, входящих в записанные равенства, если известны три других элемента.

III. Формула котангенсов связывает между собой четыре элемента сферического треугольника, лежащие рядом.

«… котангенс крайнего угла, умноженный на синус среднего, равняется произведению котангенса крайней стороны на синус средней без произведения косинусов средних элементов…».

Если в сферическом треугольнике АВМ (рис. 2.2) устанавливается зависимость между элементами А, m, В и а, то угол А и сторона а являются крайними, а угол В и сторона m – средними элементами, и тогда:

ctg A · sin B = ctg a · sin m - cos B · cos m

Всего для треугольника можно написать шесть таких соотношений, а именно:

(2.3)

Формула котангенсов применяется для вычисления стороны или угла сферического треугольника, если они лежат рядом с тремя заданными элементами.

IV. Формула косинуса угла связывает между собой три угла и одну из сторон сферического треугольника.

«… косинус угла сферического треугольника равняется произведению синусов двух других углов на косинус стороны между ними без произведения косинусов тех же углов…».

Для каждого из углов сферического треугольника АВМ можно написать формулы:

(2.4)

Эти формулы удобны при вычислении угла по двум другим углам и стороне между ними, а также служат для нахождения стороны по трем заданным углам.

Рис. 2.3. Прямоугольный сферический треугольник

Решение прямоугольных треугольников проще, чем косоугольных, так как один из их элементов (угол 90°) всегда известен и для решения треугольника достаточно знать только два элемента.

То же самое относится и к четвертным треугольникам, в которых один из элементов (сторона 90°) всегда известен.

Если в сферическом треугольнике АВМ (рис. 2.3) заданы угол В = 90°, катет а и угол М, то для вычисления неизвестного угла А можно применить формулу косинуса угла (6.4) → cos A = sin B · sin M · cos a - cos B · cos M.

Если теперь заменить все функции угла В = 90° их значениями (sin B = 1, cos B = 0), то получим

cos A = sin M · cos a

(2.5)

2.3. Вычисление горизонтных координат светил по таблицам логарифмических функций мореходных таблиц «МТ-75»

При вычислении счислимой высоты (h_С) и азимута (А_С) светила по формулам сферической тригонометрии, как по натуральным значениям тригонометрических функций, так и по логарифмам, наиболее удобными являются формулы:

(2.6)

В формуле знак «~» означает, что при φ_С и δ одноименных из большей величины вычитается меньшая, а при разноименных → величины φ_С и δ складываются.

Значения , и табулированы так, что при вычислениях не нужно делить аргументы Z_C, φ_С~δ и t_M, а значения тригонометрических функций возводить в квадрат, → все эти действия выполнены в таблицах 5а (5б) «МТ-75» (в «МТ-2000» таких таблиц нет).

Производить исследование формулы на знаки тригонометрических функций не требуется, так как оба члена ее правой части всегда положительны.

Методику вычисления горизонтных координат светил с помощью «МТ-75» рассмотрим на примере решения конкретной задачи.

Задача: Вычислить значения счислимых высоты (h_C) и азимута (А_С) светила, если:

φ_С = 43°20,6′N; δ = 17°36,7′N; t_M = 17°12,4′W.

Решение:

1. → Составляем схему вычислений: