ИНСТРУКЦИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1

ИНСТРУКЦИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1

«Теория погрешностей»

По предмету «Численные методы» для студентов специальности 230105

«Программное обеспечение ВТ и автоматизированных систем»

Инструкция составлена преподавателем Ноздрачевой Н.Л.

Согласовано на заседании цикловой комиссии ИТ и ВТ

Протокол заседания № ___ от ____________ 200 г.

Председатель комиссии _________С.И. Тетерина

Брянск

Содержание

1. Цель работы.

2. Приборы и оборудование.

3. Общие теоретические сведения.

4. Задание.

5. Порядок выполнения работы.

6. Отчет о выполненной работе.

7. Контрольные вопросы.

8. Литература.

1. Цель работы:

1.1. Закрепить понятия абсолютной и относительной погрешностей.

1.2. Научиться оценивать абсолютную и относительную погрешности вычислений.

1.3. Закрепить понятия цифр числа, верных в широком и строгом смысле.

1.4. Научиться округлять сомнительные цифры числа и определять абсолютную погрешность результата.

1.5. Научиться оценивать абсолютную и относительную погрешности чисел, имеющих только верные цифры.

1.6. Научиться оценивать погрешности результата действий над приближенными числами.

2. Приборы и оборудование:

2.1. калькулятор или ПК с программой «калькулятор»

Общие теоретические сведения

Источники погрешностей

При вычислениях по заданным формулам нередко возникают ситуации, когда результат вычислений имеет погрешность, то есть он не совпадает с точным значением искомой величины. Выделяют следующие источники погрешностей при вычислениях по формулам:

1. Погрешности аргументов формулы

Пример 1. Пусть требуется определить площадь прямоугольника, нарисованного на листе бумаги. Обозначим через a и b длины его сторон, тогда искомая площадь S=ab. Но длины сторон измеряются линейкой и результаты измерений не будут абсолютно точными. Поэтому и конечный результат вычисления площади по этой формуле будет иметь погрешность.

2. Погрешности, возникающие в результате округлений

Пример 2. Пусть требуется вычислить длину окружности радиуса R=1. Значение длины L=2πR=2π. Но число π=3,14159265… невозможно записать в виде десятичной дроби с конечным числом разрядов. Чтобы выйти из положения приходится это число округлять, то есть заменять другим числом, например, 3,14. В результате вычисления длины по формуле L=2·3,14=6,28 мм опять-таки не получим точного значения искомого результата.

3. Погрешности, возникающие при вычислении значений таких функций, как тригонометрические, показательные, логарифмические и т. д.

Пример 3. Пусть требуется произвести вычисления по формуле c=a·sinb при известных точных значениях аргументов a=2 и b=1. Для вычисления значения синуса необходимо использовать математические таблицы, либо вычислительную технику. И в том и в другом случае мы получим приближенное значение c. Поэтому и конечный результат будет приближенным.

4. Прямые ошибки вычислителя

Если ошибки вычислителя можно исправить, то ошибки, порождаемые первыми тремя источниками, в принципе неустранимы. Поэтому возникает практическая потребность научиться работать с приближенными значениями величин, оценивая их точность.

Задание

4.1.Определить, какое равенство точнее:

1. =6,63; 19/41=0.463;
2. 7/15=0,467; =5,48;
3. =3,24; 4/17=0,235;
4. 15/7=2,14; =3,16;
5. 6/7=0,857; =2,19;
6. 12/11=1,091; =2,61;
7. 2/21=0,0,95; =4,69;
8. 23/15=1,53; =3,13;
9. 6/11=0,545; =9,11;
10. 17/19=0,895; =7,21;
11. 21/29=0,723; =6,63;
12. 50/19=2,63; =5,19;
13. 13/17=0,764; =5,56;
14. 7/22=0,318; =3,60;
15. 17/11=1,545; =4,24;
16. 5/3=1,667; =6,16;
17. 49/13=3,77; =3,741;
18. 3/7=1,857; =2,64;
19. 19/12=1,58; =3,46;
20. 51/11=4,64; =5,91;
21. 18/7=2,57; =4,69;
22. 19/9=2,11; =4,12;
23. 16/7=2,28; =3,32;
24. 20/13=1,54; =7,94;
25. 12/7=1,71; =6,86;
26. 6/7=0,857; =6,40;
27. 23/9=2,56; =9,33;
28. 27/31=0,872; =6,48;
29. 7/3=2,33; =7,61;
30. 14/17=0,823; =7,28.

4.2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив только верные знаки: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

1. a) 22.553 (+0.016); б) 2.8546; =0.3%.

2. а) 17,2834; =0,3%; б) 6,4257 (+0,0024).

3. a) 34,834; =0,1%; б) 0,5748 (+0,0034).

4. а) 2,3485 (+0,0042); б) 0,34484; =0,4%;

5. a) 5,435 (+0,0028); б) 10,8441; =0,5%;

6. а) 8,24163; =0,2%; б) 0,12356 (+0,00036).

7. a) 2,4543 (+0,0032); б) 24,5643; =0,1%.

8. а) 23,574; =0,2%; б) 8,3445 (+0,0022).

9. а) 21,68563; =0,3%; б) 3,7834 (+0,0041).

10. а) 13,537 (+0,0026); б) 7,521; =0,12%.

11. а) 0,3567; =0,042%; б) 13,6253 (+0,0021).

12. а) 1,784 (+0,0063); б) 0,85637; =0,21%.

13. а) 3,6878 (+0,0013); б) 15,873; =0,42%.

14. а) 27,1548 (+0,0016); б) 0,3945; =0,16%;

15. а) 0,8647 (+0,0013); б) 24,3618; =0,22%.

16. а) 3,7542; =0,32%; б) 0,98351 (+0,00042).

17. а) 83,736; =0,085%; б) 5,6483 (+0,0017).

18. а) 2,8867; =0,43%; б) 32,7486 (+0,0012).

19. а) 4,88445 (+0,00052); б) 0,096835; =0,32%.

20. а) 38,4258 (+0,0014); б) 0,66385; =0,34%.

21. а) 0,39642(+0,00022); б) 46,453; =0,15%.

22. а) 5,8425; =0,23%; б) 0,66385 (+0,00042).

23. а) 24,3872; =0,34%; б) 0,75244 (+0,00013).

24. а) 2,3684 (+0,0017); б) 45,7832; =0,18%.

25. а) 72,354; =0,24%; б) 0,38725 (+0,00112).

26. а) 0,36127 (+0,00034); б) 46,7843; =0,32%.

27. а) 23,7564; =0,44%; б) 4,57633(+0,00042).

28. а) 15,8372 (+0,0026); б) 0,088748; =0,56%.

29. а) 3,87683; =0,33%; б) 13,5726 (+0,0072).

30. а) 0,66835 (+0,00115); б) 23,3748; =0,27%;

4.3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле.

1. а) 0,2387; б) 42,884.
2. а) 3,751; б) 0,537.
3. а) 11,445; б) 2,043.
4. а) 2,3445; б) 0,745.
5. а) 8,345; б) 0,288.
6. а) 12,45; б) 3,4453.
7. а) 0,374; б) 4,348.
8. а) 20,43; б) 0,576.
9. а) 41,72; б) 0,678.
10. а) 5,634; б) 0,0748.
11. а) 18,357; б) 2,16.
12. а) 0,5746; б) 236,58.
13. а) 14,862; б) 8,73.
14. а) 0,3648; б) 21,7.
15. а) 2,4516; б) 0,863.
16. а) 62,74; б) 0,389.
17. а) 5,6432; б) 0,00858.
18. а) 0,0384; б) 63,745.
19. а) 12,688; б) 4,636.
20. а) 6,743; б) 0,543.
21. а) 15,644; б) 6,125.
22. а) 0,3825; б) 24,6.
23. а) 16,383; б) 5,734.
24. а) 0,573; б) 3,6761.
25. а) 18,275; б) 0,00644.
26. а) 3,425; б) 7,38.
27. а) 3,75; б) 6,8343.
28. а) 3,643; б) 72,385.
29. а) 26,3; б) 4,8556.
30. а) 48,813; б) 0,645.

4.4. Вычислить и определить погрешность результата.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Порядок выполнения работы

5.1. Изучить теоретические сведения, необходимые для выполнения заданий.

5.2. Выполнить задания, соответствующие вашему варианту (порядковый номер в журнале).

5.3. Выполнить отчет о работе в письменном виде на листах формата А4.

5.4. Подготовить ответы на контрольные вопросы.

Отчет о выполненной работе

6.1. Отчет о выполненной работе должен содержать:

1. Номер и название лабораторной работы.

2. Цель работы.

3. Условия заданий.

4. Подробные решения заданий с ответом.

6.2. Защита лабораторной работы осуществляется в следующем порядке:

1. Ответы на вопросы преподавателя по выполненным заданиям.

2. Ответы на контрольные вопросы преподавателю.

7. Контрольные вопросы

1. Что называется абсолютной и относительной погрешностью приближенной числовой величины?

2. Что называется границами абсолютной и относительной погрешности приближенной числовой величины? Почему вводится это понятие?

3. Какие цифры в записи приближенного числа называются значащими, верными и верными в строгом смысле? Приведите примеры.

4. Что называется округлением приближенного числа? Способы округления. Оценка погрешности при округлении.

5. Формулы оценки погрешностей арифметических операций сложения и умножения.

6. Формулы оценки погрешностей арифметической операции вычитания и деления.

Литература

1. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. – М.: ACADEMA, 2004.

2. Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. – М.: Высшая школа, 1990.

3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. – М.: Финансы и статистика,. 2002.

4. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

5. Каханер Д., Моулен К., Неш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 2001.

ИНСТРУКЦИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1

«Теория погрешностей»

По предмету «Численные методы» для студентов специальности 230105

«Программное обеспечение ВТ и автоматизированных систем»

Инструкция составлена преподавателем Ноздрачевой Н.Л.