Особенности и принципы инерциальной навигации

Принципы, лежащие в основе инерциальной навигации, неразрывно связаны с механикой – наукой об общих законах механического движения и взаимодействия материальных тел. При решении прикладных навигационных задач используются следующие законы классической механики.

Первый закон Ньютона (закон инерции). Материальная точка, на которую не действуют никакие силы, имеет постоянную по модулю и направлению скорость. Таким образом, всякая свободная материальная точка совершает простейшее, так называемое «инерциальное» движение, т. е. движется прямолинейно и равномерно ( ) или, в частности, находится в покое ( ).

Второй закон Ньютона (основной закон динамики). Производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

.

(1)

Поскольку, где – ускорение точки, то при

.

(2)

т. е. произведение массы материальной точки на её ускорение равно действующей на неё силе.

Третий закон Ньютона (закон действия и противодействия). Две материальные точки A и B двух тел действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны. Таким образом

.

(3)

Этот закон предполагает дальнодействие, т. е. возможность действия материальных тел друг на друга на расстоянии, что характерно для классической механики Ньютона.

Закон независимости действия сил. Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил действует независимо от других и сообщает точке ускорение, равное этой силе, делённой на массу точки. Следовательно, если на точку с массой действует система сил , ,… , то ускорение, получаемое точкой

.

(4)

Из формулы (5.4) следует, что

и ,

т. е. система нескольких сил , ,… действует на материальную точку так же, как одна сила , равная сумме , ,… . Это следствие представляет обобщённый закон параллелограмма сил.

Всякое движение материального тела в пространстве является по своему существу относительным и требует обязательного указания системы отсчёта (системы координат), по отношению к которой оно рассматривается. Сформулированные выше законы механики Ньютона справедливы только по отношению к некоторой определённой системе отсчёта, которая называется «абсолютной» или «инерциальной».

Происхождение термина «инерциальный» связано с тем, что только в инерциальных системах координат справедлив первый закон Ньютона. Отсюда произошло и название «инерциальные системы координат», так как только в них справедлив закон инерции. Если наряду с инерциальной системой отсчёта ввести другую систему, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то законы механики по отношению к этой новой системе будут теми же, что и по отношению к первоначальной.

Существует не одна, а бесконечное множество инерциальных систем отсчёта, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномер­но. Совокупность бесчисленного множества инерциальных систем отсчёта образует инерциальное пространство. Значение инерциальных систем от­счёта состоит в том, что во всех этих системах ускорение тел однозначно определяется их взаимодействием. Это позволяет математически просто описывать движения тел. Однако при решении некоторых задач механики более удобно перейти от инерциальных систем отсчёта к неинерциальным, т. е. движущихся с ускорением.

Неинерциальная система отсчёта может вращаться вокруг инерциальной по кругу, эллипсу или какой-либо сложной кривой, удаляться или приближаться к инерциальной с ускорением и т. д. Поэтому тело, испытывающее определённое воздействие со стороны другого тела, может приобрести в неинерциальной системе отсчёта ускорение, зависящее не только от указанного воздействия, но также от движения системы отсчёта.

Физические принципы, лежащие в основе инерциальной навигации, неразрывно связаны с решением второй (основной) задачи динамики: зная действующие на тело силы, а также его начальное положение и скорость, определить закон движения тела, т. е. его положение в любой момент времени относительно выбранной системы отсчёта.

Для навигации вблизи Земли и для измерения основных параметров движения летательного аппарата иногда удобно использовать геоцентри­ческую систему координат. В этой системе координат начало совпадает с центром Земли, одна ось направлена вдоль полярной оси, а две другие, произвольно расположенные в плоскости экватора, взаимно перпендикулярны и неподвижны относительно инерциального пространства.

При навигации в пределах небольших участков Землю можно считать сферой. Однако на участках большой протяжённости такое упрощение приведёт к большим навигационным ошибкам. Для математического опи­сания фигуры геоида прибегают к его замене семейством эллипсоидов, построенных на основе геодезических измерений.

Выбор какого-либо референц-эллипсоида – ответственная задача. От этого зависит, в какой степени точно земная поверхность будет аппроксимироваться своей моделью. Сама поверхность геоида является эквипотенциальной поверхностью сил земного тяготения.

Силы тяготения неотличимы от сил инерции согласно одному из постулатов А. Эйнштейна. Поэтому, если их заранее не скомпенсировать (или каким-либо образом не учесть), то это скажется на точности измерения линейных и угловых ускорений, с которыми движется объект, а значит, и координат местоположения.

Понятие вертикали Земли

Знание направления вертикали позволяет решать важнейшие навигационные задачи. Особенности формы Земли, её вращения и распределе­ния поля тяготения усложняют задачу определения вертикали. Вполне естественно предположить, что вертикаль должна проходить через центр Земли. Именно такую вертикаль, совпадающую с направлением геоцентрического радиус-вектора, называют геоцентрической вертикалью (1), рис. 1,а. Угол между направлением геоцентрической вертикали и плоскостью земного экватора называют геоцентрической широтой .

Линия, совпадающая с направлением поля тяготения, образует гравитационную вертикаль (2), рис. 1,б. Угол между направлением гравитационной вертикали и плоскостью земного экватора называют гравитационной широтой . Вследствие отклонения фактической формы Земли от шарообразной, гравитационное поле Земли не является радиальным.

а)

б)

в)

Рисунок 1 Направление вертикалей, виды широт

Результирующий вектор силы притяжения Земли центробежной силы , возникающей из-за суточного вращения Земли, составляет вектор силы тяжести . Отвес, точка подвеса которого неподвижна или движется без ускорения относительно Земли, устанавливается по направлению поля сил тяжести. Это направление принято считать вертикалью места (3), рис. 1,в. Угол между линией отвеса и экваториальной плоскостью назы­вают географической широтой .

Широты , , связаны между собой соотношениями (5,6).

,

(5)

где – эллиптичность (сжатие) Земли,

при разность между и максимальна, достигает 11,5'.

,

(6)

3. Основные вопросы практического осуществления системы инерциальной навигации

Инерциальные навигационные системы (ИНС) - это такие технические средства, которые позволяют определять непосредственно на движущемся объекте его координаты и вектор путевой скорости в результате измерения и интегрирования ускорений, действующих на него во время движения. Измеряемые ускорения отнесены к инерциальной системе ко­ординат. На рис. 2 приведена схема такого измерительного устройства для простейшего случая движения в горизонтальной плоскости.

На летательном аппарате установлены маятниковый акселерометр и два интегрирующих вычислительных устройства. Акселерометр выдаёт электрический сигнал, пропорциональный ускорению ЛА. Напряжение с выхода каждого интегратора пропорционально интегралу входного напряжения. Устройство, показанное на рис. 2, позволяет измерять ускорения лишь в одном направлении. Используя акселерометры, ориентированные по трём осям пространственной системы координат, можно измерять относительно какой-либо системы координат, связанной с инерциальным пространством (например, относительно «неподвижных» звёзд), вектор путевой скорости и координаты летательного аппарата при его по­ступательном перемещении на плоскости в любом направлении. Переход к неинерциальной системе координат, связанной, например, с Землей, осуществляется с помощью вычислительных устройств.

а)

б)

в)

Рисунок 2 Структурная схема простейшей ИНС:

а) в состоянии покоя; б) движения с ускорением; в) движения с постоянной скоростью; 1 – датчик ускорения объекта; 2 – первый интегратор; 3 – второй интегратор

ИНС обладает всеми преимуществами автономного средства самолётовождения (не демаскирует летящий самолёт, не зависит от видимости земной поверхности и небесной сферы и т. п.). Система пригодна как для дальней, так и для ближней навигации, т. е. в принципе – для всех летательных аппаратов. Идея создания ИНС предлагалась уже давно. Однако отсутствие технических возможностей не позволяло создать работоспо­собную систему, так как инерциальные системы требуют приборов особо высокой точности, чтобы получить приемлемые результаты.

Акселерометр одинаково реагирует на ускорение, возникающее при его движении вместе с летательным аппаратом, и на гравитационное ус­корение. Постоянный наклон платформы с акселерометрами по отноше­нию к горизонту (невыдерживание вертикали) на угол в 1 миллирадиан (3,4') приводит к ошибке (за счёт интегрирования составляющей ускорения силы тяжести в ) примерно в 65 км за 1 час полёта.

Ошибка измерения пройденного пути из-за погрешности измерения ускорения растёт в этом случае пропорционально квадрату времени действия системы. Обычно ориентация платформы с акселерометрами в неподвижном пространстве осуществляется с помощью гироскопов, к точностным характеристикам которых предъявляются очень жёсткие требования. Поэтому ИНС применялись лишь на таких объектах, где время их работы исчислялось несколькими минутами, например, на баллистических ракетах (на активном участке полёта). На германских ракетах ФАУ-2 акселерометры применялись для определения предельной скорости полёта на активном участке с целью выключения двигателя в нужный момент.

При разработке достаточно точных ИНС для воздушной навигации необходимо, в первую очередь, решить следующие основные задачи:

1) создание на летательном аппарате точной вертикали;

2) материализация и сохранение в процессе полёта летательного аппа­рата неподвижной (инерциальной) системы координат.

Известно, что задача определения вертикали на движущемся объекте весьма сложна. Уровни и маятники дают «кажущуюся» вертикаль, направленную по равнодействующей силы тяжести и сил инерции от ускорений, действующих на объект. Такая вертикаль сильно возмущаема и не­пригодна для применения в ИНС. Осреднение отклонений вертикали с помощью гироскопа на высокоскоростных летательных аппаратах невозможно из-за действия длительных и больших ускорений, а также из-за уходов гироскопов. Поэтому необходимы другие средства для создания невозмущаемой ускорениями летательного аппарата вертикали.

Что касается материализации неподвижной (инерциальной) системы, или сохранения начала отсчёта в абсолютной системе координат, т. е. постоянного направления в пространстве, то эта задача может быть решена с помощью гироскопов с ничтожно малым уходом, или телескопов, автоматически устанавливаемых в направлении выбранных звёзд.

Создание достаточно точной и невозмущаемой вертикали, равно как и технических средств для измерения вектора путевой скорости и координат места, возможно лишь при условии совмещения процессов измерения ускорений и построения точной вертикали.

Рассмотрим движение летательного аппарата в одной плоскости вокруг «неподвижной» Земли, имеющей форму шара (рис. 3,а). На горизонтальной платформе поместим акселерометр (рис. 3,б) – сейсмическую массу 2, удерживаемую в горизонтальном направлении пружинами 3. При воздействии ускорения «а» масса 2 передвигается в направлении, обратном действию ускорения. Масса 2 перемещается по направляющей 4. Выходной сигнал, пропорциональный ускорению ( ), снимается с потенциометра 5, щётка которого связана с массой 2.

4.