Результаты измерения длины листа масштабной линейкой

i	Способ измерения	, мм	, безразмерно	<x> - xi, безразмерно	(<x> - xi)2, безразмерно
	Линейка над листом		0.923 0.990 0.938 0.967 0.971	0.096 0.029 0.081 0.052 0.048	0.0092 0.00084 0.0066 0.0027 0.0023
	Линейка за листом		1.129 1.029 1.100 1.115 1.043	- 0.11 - 0.010 - 0.081 - 0.096 - 0.024	0.012 0.00010 0.0066 0.0092 0.00058
	Линейка на листе		1.000	-	-
	Среднее значение		1.021	-	-

Дальнейшая обработка результатов такая же, как в предыдущих работах. Прежде всего, рекомендуется выяснить, является ли величина x_i случайной переменной с распределением, близким к распределению Гаусса (8.2.3). Сделать это можно, построив ее гистограмму. Для этого на числовой оси отметьте точку 1 - «точное значение». Вправо и влево от этой точки отложите отрезки, которые в сумме перекрывали бы всю область данных сводной таблицы. Длину этих отрезков выберите такой, чтобы их количество было не более двадцати – иначе на каждый из отрезков выпадет мало экспериментальных точек, что затруднит выявление статистических закономерностей. Затем составьте еще одну таблицу, подобную таблицам 10.1.1 и 10.2.2, и занесите в нее число попаданий в каждый из Ваших интервалов. На основе этой таблицы постройте гистограмму и сделайте выводы о характере Ваших экспериментальных данных.

В качестве примера на рисунке 10.3.2 приведено распределение результатов одной из студенческих групп (сто чисел). Сюда же включены данные из таблицы 10.3.1 (десять чисел). Итого, гистограмма содержит 110 экспериментальных значений. Данные сводной таблицы охватывают диапазон 0.6 < x < 1.4. Этот диапазон разбит на 16 отрезков; длина каждого из них – 0.05 безразмерной единицы. Экспериментальные точки, угодившие на левую границу отрезка, учитывались в нем, а совпадающие с правой границей - приписывались к следующему отрезку.

Рис. 10.3.2. Гистограмма результатов измерений длины листа: по горизонтальной оси отложено отношение полученного значения длины к «точной» величине; по вертикальной оси – количество экспериментальных точек, попавших в интервал. Максимальная ордината соответствует 28 попаданиям, минимальная отличная от нуля ордината – одному попаданию

Из рисунка 10.3.2 видно, что в обсуждаемой серии встречаются измерения, выполненные с очень большой ошибкой – от 20 до 40 %! Однако число таких измерений незначительно – не более одного - двух на каждый из отрезков, далеко отстоящих от точки x = 1. С приближением как слева, так и справа к значению x = 1, т. е. по мере уменьшения ошибки измерения, количество результатов, попадающих в отрезок, возрастает. Наибольшее число экспериментальных данных приходится на отрезки, примыкающие к точке x = 1. Это означает, что чаще всего измерения выполнялись с минимальной ошибкой. Таким образом, мы можем рассматривать гистограмму на рисунке 10.3.2 как приближение, пусть весьма грубое, кривой распределения Гаусса (8.2.3). Поэтому ошибку измерения в этой серии опытов можно считать случайной переменной, для которой применимы соотношения Стьюдента (5.2.1) и (8.3.1).

На следующем этапе каждый студент на основе своих одиннадцати измерений вычисляет <x> и Dx по формулам (5.2.1) и (8.3.1). Для приведенных в таблице 10.3.1 данных

x = 1.021 ± 0.054 1.02 ± 0.05	(p = 0.95).	(10.3.1)

Найденные среднее значение и доверительный интервал, а также «истинное» значение x = 1.000 и десять оставшихся экспериментальных точек изображаются на числовой оси подобно тому, как это сделано на рисунках 10.1.3а и 10.2.2а. Затем это же самое делается с четырьмя числами, занесенными в общую таблицу. При этом получаются какие-то новые <x> и Dx. Результаты вычислений и диаграммы следует сопоставить между собой и с гистограммой распределения сводного массива данных, для чего рекомендуется расположить все рисунки на одном листе друг под другом.

Контрольные вопросы к работе 10.3

1. Можно ли утверждать, что, чем больше проведено измерений, тем ближе <x> к X?

2. Можно ли из таблицы экспериментальных данных вычеркивать некоторые результаты как «ошибочные»?

3. В каких случаях достаточно провести всего одно измерение? Как оценить его ошибку?

4. Могла ли в Ваши измерения длины закрасться систематическая ошибка?

5. При однократном измерении толщины оконного стекла микрометром, штангенциркулем и масштабной линейкой получены следующие результаты: 2.23 мм, 2.2 мм и 2 мм, соответственно. В каком из этих трех значений вероятнее всего содержится наибольшая случайная ошибка, ошибка прибора, ошибка округления?

6. При выполнении этой работы три студента получили для измерений листы бумаги длиной 10 мм, 10 см и 10 дм. У кого из них вероятнее всего будет наибольшая случайная ошибка, ошибка прибора, ошибка округления?

В качестве моделей процесса измерения, сопровождающегося большой случайной погрешностью, можно предложить и другие задачи. Например, можно, предварительно определив с помощью линейки длину бумажной полоски, куска проволоки или нитки, на глаз разорвать их пополам. Один из получившихся отрезков можно снова на глаз поделить поровну, и т. д. Затем, пользуясь линейкой, нужно найти длину образовавшегося в итоге кусочка и по ней вычислить длину первоначального образца. Полученную величину мы будем понимать как «результат измерения», а ее отклонение от «точного», непосредственно найденного значения – как погрешность. Такие «измерения» следует выполнить несколько раз и обработать их по рецепту, изложенному выше.

Можно предложить еще один вариант подобных опытов. Определив с помощью линейки площадь прямоугольного листа бумаги, на глаз разрезать его пополам, сначала вдоль, а затем поперек. Операцию можно повторить несколько раз. После этого, найдя с помощью линейки площадь одного из обрезков, по ней восстановить площадь первоначального листа.

Вы можете самостоятельно придумать и опробовать еще какие-то способы измерений, дающие большую случайную ошибку.

10.4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Пример оценки погрешности косвенных измерений.

Определение плотности ТВЕРДОГО тела[10]

Принадлежности: кольцо или цилиндр, штангенциркуль, микрометр, технические весы.

Это методическая работа по статистической обработке результатов косвенных измерений. Задачи этой работы:

· ознакомиться с простейшими измерительными инструментами - штангенциркулем, микрометром, техническими весами;

· отработать способы вычисления погрешностей, ведения записей, составления отчета.

В работе требуется выполнить равноточные измерения микрометром и штангенциркулем и взвесить тело на технических весах. Равноточности всех измерений добиваются выбором соответствующего инструмента. В нашей лаборатории точность всех измерительных инструментов порядка одного процента, что требует измерений с тремя значащими цифрами (или четырьмя, если первая значащая цифра равна 1). Штангенциркуль дает такую точность, если измеряемая длина больше 1 см, а микрометр – если длина больше 1 мм. При измерении линейных размеров необходимо иметь в виду, что тело может не обладать строго правильной формой. Поэтому измерения штангенциркулем и микрометром делают несколько раз и в разных местах: три, если результаты не меняются, и не менее пяти в противном случае. Взвешивание достаточно выполнить только один раз, поскольку при этом Вы получите четыре-пять значащих цифр, из которых меняется только последняя, но ее все равно придется отбросить при обработке данных.

Приведем пример записи и обработки результатов.

9.04.2003

Данные для определения плотности материала кольца

Материал - латунь.

Комнатная температура 20° С.

Рис. 10.4.1. Обозначения размеров кольца