Обработка экспериментальных данных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Пермский государственный университет

Научно-образовательный центр

«Неравновесные переходы в сплошных средах»

Ю.К. Братухин, Г.Ф. Путин

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Учебное пособие по лабораторному практикуму «Механика»

курса общей физики

Пермь 2003

ББК 22.253.3

Б 87

УДК 531.7.08 (076.5)

Братухин Ю.К., Путин Г.Ф.

Б 87 Обработка экспериментальных данных:Учебное пособие по лабораторному практикуму «Механика» курса общей физики / Перм. ун-т. – Пермь, 2003. – 80 с.

ISBN 5–7944–0370 5

Пособие предназначено для студентов первого курса физических факультетов университетов, а также студентов других естественно-научных факультетов университетов и технических вузов, приступающих к работе в практикуме по общей физике. Оно составлено в соответствии с действующей программой курса общей физики как введение в курс лабораторных работ. Дается краткое изложение теории, относящееся ко всем заданиям, и описание несколько лабораторных работ, каждую из которых одновременно могут выполнять студенты всей группы. Формулировка задач предусматривает, чтобы исполнение большинства экспериментальных установок было простым и студенты, проделав опыты, сами могли предложить их усовершенствование или, при желании, воспроизвести дома. Поэтому пособие может быть использовано и для самостоятельной работы.

Табл. 10. Ил. 13. Библиогр. 12 назв.

Учебное пособие подготовлено при поддержке Научно-образовательного центра «Неравновесные переходы в сплошных средах»

Печатается по решению Ученого совета физического факультета Пермского университета

Рецензенты:

кафедра прикладной физики Пермского государственного технического университета;

доктор физико-математических наук, профессор А.Ф. Пшеничников

ISBN 5–7944–0370 5 Ó Ю.К.Братухин, Г.Ф.Путин, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Правила обработки результатов измерений . . . . . . .5

1.1. Обработка результатов прямых измерений . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Обработка результатов косвенных измерений . . . . . . . . . . . . .9

2. Оформление отчетов о лабораторных работах . . 11

3. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

4. Виды измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

4.1. Измерение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

4.2. Прямые измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

4.3. Косвенные измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Представление результатов измерений . . . . . . . . . . 16

5.1. Запись результата измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

5.2. Среднее значение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

5.3. Истинное значение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

5.4. Доверительный интервал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.5. Коэффициент надежности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

6. Виды погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

6.1. Абсолютная погрешность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

6.2. Относительная погрешность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

6.3. Систематическая ошибка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.4. Случайная ошибка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

6.5. Промах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7. Погрешности измерительных приборов . . . . . . . . . . 23

7.1. Предельная ошибка прибора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.2. Класс точности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

7.3. Ошибка прибора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

7.4. Ошибка округления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

7.5. Суммарная ошибка измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

8. Статистическая обработка результатов

измерений, содержащих случайную ошибку . . . .27

8.1.Обработка результатов прямых измерений. . . . . . . . . . . . . . .27

8.2. Распределение Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.3. Метод Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

8.4. Обработка результатов косвенных измерений . . . . . . . . . . . .33

9. Приближенные вычисления при обработке

экспериментальных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

9.1. Число значащих цифр при определении погрешности . . . . . 38

9.2. К вычислению суммарной ошибки измерения. . . . . . . . . . . . 40

9.3. О точности вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

10. Лабораторные работы по статистической

обработке результатов измерений . . . . . . . . . . . . . . . .42

10.1. Лабораторная работа. Изучение распределения случайной

величины. Газ Лоренца . . . . . . . . . . 44

10.2. Лабораторная работа. Экспериментальное определение

числа π. Игла Бюффона . . . . . . . . . . 55

10.3. Лабораторная работа. Моделирование измерений,

сопровождающихся большой случайной погрешностью . . . . . . . . 64

10.4. Лабораторная работа. Пример оценки погрешности

косвенных измерений. Определение плотности твердого тела . . . . . . . . . 70

10.5. Лабораторная работа. Определение плотности твердого

тела правильной геометрической формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11. Как писать отчеты о лабораторных и

научно-исследовательских работах и

научные статьи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

В главах 1, 2 кратко приведена последовательность шагов, обязательных при обработке и представлении экспериментальных данных и при оформлении отчетов о лабораторных работах. Подробное изложение этих вопросов содержится в разделах 3 – 11, составляющих основное содержание данного пособия.

1. ПРАВИЛА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ[1]

При обработке результатов измерений предлагается следующий порядок действий.

1.1. Обработка результатов прямых измерений

Прямыми называются измерения, при которых искомая величина считывается непосредственно с прибора.

Пусть в одних и тех же условиях проделано n измерений некоторой физической величины x.

1. Записываем в таблицу в тетради результаты каждого из отдельных измерений x₁, x₂, ... x_n.

2. Вычисляем среднее арифметическое значение <x> из n измерений

	(1.1.1) [2] / (5.2.1), [3], [4]

3. Находим абсолютные погрешности отдельных измерений

∆xi = <x> - xi.	(1.1.2) / (6.1.1)

4. Определяем из таблицы 1.1.1 коэффициент Стьюдента t_p,n для числа проведенных измерений n (и заданной надежности p = 0.95)[5].

Таблица 1.1.1

Коэффициенты Стьюдента

p = 0.95

n
tp,n	12.7	4.3	3.2	2.8	2.6	2.4	2.4	2.3	2.3	2.1	2.0

5. Вычисляем абсолютную случайную погрешность результата всех n измерений по формуле

.	(1.1.3) / (8.3.1)

6. Вычисляем абсолютную погрешность прибора D_пр по формуле

Dпр = δ	(p = 0.95),	(1.1.4) / (7.3.2)

где δ – предельная ошибка прибора, указываемая на шкале прибора или в его паспорте.

7. Вычисляем абсолютную погрешность округления прибора D_окр по формуле

Dокр = 0.48 ω	(p = 0.95),	(1.1.5) / (7.4.2)

где ω – цена наименьшего деления прибора.

Погрешности прибора ∆_пр и округления ∆_окр для некоторых приборов, применяемых в лабораторном практикуме по механике, указаны в таблице 1.1.2:

Таблица 1.1.2

Погрешности приборов

p = 0.95

Прибор	Цена наименьшего деления, ω	Предельная погрешность прибора, δ	Погрешность округления, Dокр	Погрешность прибора, Dпр
Микрометр	0.01 мм	0.01 мм	0.005 мм	0.007 мм
Штангенциркуль	0.1 мм	0.1 мм	0.05 мм	0.07 мм
Штангенциркуль	0.05 мм	0.05 мм	0.02 мм	0.03 мм
Весы технические	0.1 г (100 мг)	0.01 г	0.05 г	0.07 г
Линейка	1 мм	1 мм	0.5 мм	0.7 мм
Секундомер	0.2 с	0.2 с	0.1 с	0.14 с

8. Определяем суммарную абсолютную погрешность Dx опыта по формуле

.	(1.1.6) / (7.5.1)

При вычислении Dx по формуле (1.1.6) можно отбросить одну или две из погрешностей D_пр и ∆_окр, если их величины вдвое или значительно меньше оставшихся.

9. Округляем абсолютную погрешность Dx (см. параграф 9.1):

· до одной значащей цифры, если эта цифра больше или равна 2. Например,

Dx = 0.523 0.5;

· до двух значащих цифр, если первая из них меньше 2. Например,

Dx = 0.124 0.12.

Здесь и в ряде следующих примеров значащие цифры подчеркнуты.

10. Записываем окончательный результат эксперимента в виде

X = <х> ± Dx	(p = 0.95)	(1.1.7) / (5.1.1)

и указываем единицы измерения.

Запись (1.1.7) означает, что истинное значение X измеряемой величины x лежит в доверительном интервале (<x> - Dx, <x> + Dx) с вероятностью p, составляющей 95 %.

11. Округляем среднее значение <x> таким образом, чтобы погрешность Dx приходилась (см. параграф 9.1):

· на последний разряд среднего <x>, если Dx записано с одной значащей цифрой

X = (6438 ± 523) (6.4 ± 0.5)∙103 м	(p = 0.95);	(1.1.8)

· на два последних разряда среднего <x>, если Dx записано с двумя значащими цифрами

X = (6438 ± 124) (6.44 ± 0.12)∙103 м	(p = 0.95).	(1.1.9)

12. Определяем относительную погрешность Dx_отн результата серии измерений

Dxотн = Dx/<x>.	(1.1.10) / (6.2.1)

13. Записываем теоретическое, или табличное, или полученное в других исследованиях и т.д., значение изучаемой нами физической величины x. Приводим подробную ссылку на цитируемый источник.

Например: Табличное значение плотности алюминия при температуре 20° С

ρ = 2.69 г/см³.

См.: Таблицы физических величин: Справочник / Под ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат. 1976. 1006 с. (таблица на с. 121).

14. Сравниваем полученный в наших экспериментах результат с данными предыдущего пункта 13. Если эти результаты значительно различаются, следует установить причины такого расхождения: проверить вычисления; повторить измерения для одного - двух характерных значений параметров.

15. Записываем вывод.

Например: В пределах погрешности эксперимента результаты наших измерений согласуются (не согласуются) с теоретическим, или табличным, или приведенным в цитируемой работе [N] значением. (Расхождение результатов может быть обусловлено следующими причинами: …, или следующими недостатками используемых приборов и методики эксперимента: …).

1.2. Обработка результатов косвенных измерений

Косвенными называются измерения, при которых интересующая нас величина z является функцией k (k 1) непосредственно измеряемых величин x₁, x₂,…, x_k:

z = z(x1, x2,…, xk).	(1.2.1)/(8.4.1)

При обработке результатов косвенных измерений наиболее распространен следующий способ.

1. Данные прямых измерений каждого из параметров x₁, x₂,…, x_k обрабатываем, как описано в параграфе 1.1:

· Вычисляем средние арифметические значения аргументов <x₁>, <x₂>, …, <x_k> по формуле (1.1.1);

· Находим абсолютные погрешности Dx₁, Dx₂, …, Dx_k измерений каждого из аргументов, пользуясь приведенными выше формулами (1.1.3) – (1.1.6). При этом для всех аргументов задаем одно и то же значение надежности p = 0.95.

2. Результат косвенного измерения определяем, подставляя найденные средние <x₁>, <x₂>, …, <x_k> от непосредственно измеренных величин в формулу для функции z

z = z(<x1>, <x2>, …, <xk>).	(1.2.2)/ (8.4.5)

3. Абсолютную погрешность Dz для результата косвенных измерений оцениваем по формуле

	(1.2.3)/ (8.4.6)

где - частные производные[6] функции z, вычисляемые при значениях переменных x₁ = <x₁>, x₂ = <x₂>, …, x_k = <x_k>.

Результирующая погрешность Dz имеет ту же надежность p = 0.95.

При вычислении результирующей погрешности по формуле (1.2.3) следует пренебречь теми из слагаемых в подкоренном выражении, которые по крайней мере вдвое меньше оставшихся членов.

Еще один способ обработки результатов косвенных измерений описан далее в параграфе 8.4.

2. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТОВ О ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТАХ[7]

1. Каждая работа должна начинаться с новой страницы.

2. Заголовок работы должен быть выделен.

3. После заголовка необходимо записать краткое Введение, в котором должны быть отражены следующие моменты:

· постановка задачи, какое явление или какая зависимость будут исследованы, что ожидается получить в ходе выполнения работы;

· физические величины, которые будут измеряться в работе; каковы их размерности и единицы измерения;

· описание метода измерений, используемого в работе. При этом обязательно следует схематически нарисовать экспериментальную установку и написать рабочую формулу и формулы для вычисления погрешностей.

4. Экспериментальные результаты следует записывать только в рабочую тетрадь, в заранее заготовленные таблицы. Не следует использовать для этих целей черновики.

5. Если измеряемая величина зависит от внешних условий, например, от температуры или давления, необходимо записать условия эксперимента.

6. Окончательный результат следует записать в конце отчета с указанием доверительного интервала, коэффициента надежности, единиц измерения и внешних условий. Этот результат должен быть выделен.

7. Если возможно, полученный результат необходимо сравнить с имеющимися табличными данными, теоретическими расчетами или результатами экспериментов других авторов, обязательно приведя при этом ссылку на источник этих данных.

8. Если в измерениях содержатся систематические погрешности (например, сила трения, не учтенная в формулах), то указывать доверительный интервал не имеет смысла [4, 5]. В этом случае ограничиваются оценкой точности метода измерений.

9. Для характеристики качества результатов и используемого экспериментального метода рекомендуется всегда оценивать относительную погрешность результата.

10. Все записи в тетради должны быть датированы.

ВВЕДЕНИЕ

Основными задачами лабораторной практики являются:

· знакомство с приборами;

· приобретение опыта в проведении эксперимента;

· иллюстрация теоретических положений физики.

Очевидно, что ни один курс практических работ не сможет включить в себя всю теорию и познакомить со всеми приборами. Поэтому главная задача настоящего практикума - научиться:

· планировать эксперимент так, чтобы точность измерений соответствовала поставленным целям;

· учитывать возможность систематических ошибок и принимать меры для их устранения;

· анализировать результаты эксперимента и делать правильные выводы;

· оценивать точность окончательного результата;

· вести записи измерений и расчетов аккуратно, ясно и кратко.

Познакомиться с приемами практического проведения измерений, статистической обработки их результатов, с методами экспериментальных исследований и указаниями по оформлению результатов, составлению отчетов и написанию научных статей мы рекомендуем по книге Дж. Сквайрса «Практическая физика» [4].

Предлагаемый лабораторный практикум по механике как одному из разделов физики призван не столько сообщить читателю новые сведения – это уже выполнено школой – сколько помочь ему глубже понять существо более или менее известных фактов и их взаимосвязь. Эта основная наша цель непосредственно связана также с воспитанием творческих способностей и формированием самостоятельного мышления. Такое воспитание может формироваться на следующих основных направлениях: умение обобщать – индукция; умение применять теорию к конкретной задаче – дедукция и, пожалуй, самое важное – умение выявлять противоречия между теоретическими обобщениями и практикой – диалектика.

В теоретической картине, которая Вам преподносится на лекциях, рассматриваются те стороны реального мира, которые теория считает важными. Может получиться так, что Ваше знакомство с миром природы ограничится только этими сторонами, и Вы будете уверены, что это и есть весь реальный мир, а не отдельные его грани. К тому же в такой картине все так хорошо увязано, что легко утратить представление о том, какие усилия потребовались для ее создания. Лучшее лекарство от такой болезни – пойти в лабораторию и там убедиться в сложности реального мира.

Занимаясь экспериментальной физикой, Вы прежде всего узнаете, как трудно бывает проверить теорию, измерить то, что нужно, а не что-то иное, и научитесь преодолевать такие трудности. Вместе с тем, у Вас появится взгляд на физику в целом и на взаимоотношения между теорией и экспериментом.

Чтобы научить оформлению отчетов о научном исследовании (для Вас это обучение разбивается на этапы – лабораторные работы, студенческие научные семинары и конференции, участие в исследованиях кафедры), часть приводимых далее описаний лабораторных работ составлена в стиле статей в научных журналах. О том, как писать научные статьи, подробно говорится в книгах [4], [6], где даются практические советы, рекомендации и приводятся образцы. Мы здесь укажем только, что в таких описаниях будем придерживаться общепринятого разбиения статьи на следующие разделы:

· введение с постановкой задачи;

· описание экспериментальной установки и методики измерений;

· результаты эксперимента;

· их анализ и сопоставление с результатами других авторов;

· выводы.

Для всех физиков мира подобная манера изложения стала настолько неотъемлемым профессиональным навыком, что часто служит поводом для шуток и пародий – смотри, например, статьи П. Иордана и Р. де Кронига «Движение нижней челюсти у крупного рогатого скота в процессе пережевывания пищи» и Я. И. Френкеля «К квантовой теории танца» в книге [6]. Не удержались от подобной шутки над штампами и над собой и авторы данного издания, поместив в разделе «Обсуждение результатов» совместной публикации [7] в уважаемом академическом журнале дословную цитату из пародии «Инструкция для читателя научных статей» [6]: «Если принять во внимание приближения, сделанные при анализе, согласие экспериментальных и теоретических результатов следует признать удовлетворительным», но, правда, опустив раскрытый в «Инструкции…» тайный смысл этой фразы: «Согласие вообще отсутствует» - в уверенности, что посвященные поймут этот смысл и без дополнительных разъяснений.

Для того чтобы продемонстрировать, насколько полезно, сообщая экспериментальные данные, указывать не только средние характеристики, но и доверительные интервалы, в пределах которых наиболее вероятно нахождение истинных значений измеряемых величин, а также показать, как могут соотноситься теоретические и экспериментальные результаты при изучении конкретных задач, приведем два графика из упомянутой статьи [7].

	Фигура 1 из работы [7]. Тепловой поток через пропитанную жидкостью пористую среду с мелкими порами. Точки - данные опытов. Область теоретических значений заштрихована   Фигура 2 из работы [7]. Теплоперенос через среду с крупными порами. Точки – эксперимент; кривая – теория

4. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерение

Измерением какой-либо физической величины называется операция, позволяющая узнать, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за единицу.

Необходимо подчеркнуть, что такое сравнение с эталоном – измерение – должно выполняться в строго определенных условиях и вполне определенным образом. Например, измерение длины предмета предполагает, что эталон неподвижен по отношению к нему, а измерение продолжительности события производится по неподвижным часам. В этом смысле поучителен разбор Эйнштейном понятия одновременности, которое в классической физике не определялось вообще как a priori «очевидное».

Измерения разделяются на прямые и косвенные.

Прямые измерения

Прямыми называются такие измерения, при которых искомая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. Примерами прямых измерений являются измерения длины линейкой или штангенциркулем; измерения масс на рычажных весах с помощью набора разновесов; измерения промежутков времени при помощи часов или секундомера, измерения температуры термометром, напряжения вольтметром и т.п. Значение измеряемой величины отсчитывается при этом по шкале прибора или определяется подсчетом мер, разновесов и т.д.

Косвенные измерения

Косвенными называются измерения, при которых искомая величина находится как функция нескольких непосредственно измеряемых величин. Примерами косвенных измерений могут служить: нахождение плотности твердого тела путем измерения его массы и объема; измерение вязкости жидкости по ее объемному расходу при истечении через круговой капилляр, длине и сечению этого капилляра; или по скорости падения в этой жидкости маленького шарика, его плотности и диаметру и т.п.

Запись результата измерений

Пусть мы произвели n измерений некоторой физической величины x. Результаты этих отдельных измерений обозначим через x₁, x₂, ... x_n. Истинное значение измеряемой величины (неизвестное нам) обозначим буквой X.

В соответствии с требованиями Государственных стандартов ГОСТ 8.011-72 и ГОСТ 8.207-76 [2, 3], сообщая об измеренной нами физической величине x, мы всегда должны, кроме полученного результата, указать приближенную ошибку Dx наших измерений (называемую еще абсолютной погрешностью), записав результат в виде

X = <х> ± Dx	(p = 0.95)	(5.1.1)

с обязательным указанием единиц измерения и надежности p, для которой ГОСТ 8.207-76 предписывает значение p = 0.95.

Запись (5.1.1) означает, что истинное значение X измеряемой величины x лежит в интервале (<x> - Dx, <x> + Dx) с некоторой вероятностью p (по ГОСТу эта вероятность должна быть равна 95 %).

Среднее значение

Если измерения сопровождаются разбросом экспериментальных данных, в качестве среднего значения <x> измеряемой величины x в выражении (5.1.1) принимается среднее арифметическое значение

	(5.2.1)

где n – число измерений. При использовании этой формулы нужно иметь в виду, что в ней все x независимы и равновероятны. Мы будем предполагать, что это условие всегда выполнено.

Истинное значение

Строго говоря, под «истинным» значением X измеряемой величины следует понимать среднее арифметическое значение при бесконечном числе измерений (в формуле (5.2.1) n следует устремить к ¥). Поскольку выполнить бесконечное число измерений принципиально невозможно, то следует согласиться, что экспериментатор может иметь дело только со средними арифметическими величинами <x> и принять, что X @ <x>.

Доверительный интервал

Интервал (<x> - Dx, <x> + Dx) - с центром в точке <x> и полушириной, равной погрешности Dx - в котором с вероятностью p (p = 0.95) заключено истинное значение X измеряемой величины x, называется доверительным интервалом.

Правила и формулы, на основании которых, в соответствии с ГОСТ, по измеренным величинам x₁, x₂, …, x_n рекомендуется вычислять полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность результата Dx), будут изложены в главе 8. Более подробное освещение этих вопросов будет дано на старших курсах в теории вероятностей и математической статистике.

Коэффициент надежности

Параметр p = 0.95 называется коэффициентом доверия, или коэффициентом надежности, или просто надежностью. Значение коэффициента надежности p = 0.95, предписываемое ГОСТом, означает, что вероятность попадания результатов достаточно длинной

ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Точность измерений обычно ограничивается несовершенством измерительных приборов, несовершенством наших органов чувств и статистическим характером изучаемых явлений.

При косвенных измерениях, когда конечный результат находится подстановкой непосредственно измеренных величин в некоторую формулу, точность может зависеть и от того, насколько хорошо эта формула описывает зависимость изучаемой характеристики от измеряемых параметров.

,

Абсолютная погрешность

Абсолютной ошибкой i-го измерения Dx_i называется отклонение результата i - го измерения x_i от среднего значения <x>

Dxi = <x> - xi.	(6.1.1)

Абсолютной ошибкой, или абсолютной погрешностью результата всех измерений называется полуширина Dx доверительного интервала (<x> - Dx, <x> + Dx).

Относительная погрешность

Качество результатов измерений обычно удобно характеризовать не абсолютной величиной ошибки Dx, а ее отношением к измеряемой величине <x> , которое называется относительной ошибкой и обычно выражается в процентах:

Dxотн = Dx /<x>.	(6.2.1)

Удобство применения относительной ошибки обусловлено тем, что в большинстве приложений именно эта величина играет существенную роль. Наприм ер, будем измерять какую либо длину с точностью до 1 см. В случае, когда речь идет об определении длины карандаша, указанная точность будет весьма низкой – около 10 %. С другой стороны, если поставить перед собой задачу - с той же абсолютной погрешностью в 1 см определить расстояние от Перми до Москвы, то такая точность будет чрезмерно высокой (~ 10^{- 6} %). Проводить измерения с названной точностью в этом случае будет очень трудно, да и вряд ли необходимо.

Приведенный пример показывает, что указание абсолютной ошибки мало отражает действительную точность измерений. В противоположность этому, относительная погрешность, сопоставляющая величину ошибки с измеряемой характеристикой, дает непосредственное представление о точности измерений.

По характеру происхождения все ошибки измерений можно разделить на три типа – систематические, случайные и грубые ошибки, или промахи.

Систематическая ошибка

Систематическая ошибка – это смягченное выражение, заменяющее слова «ошибка экспериментатора».

Систематические ошибки остаются, как правило, постоянными на протяжении всей серии опытов. Величина их может быть и известной, и неизвестной заранее. Например, курс шхуны «Пилигрим»[8] содержал неизвестную Дику Сэнду, но известную Негоро систематическую ошибку.

Систематические погрешности могут быть обусловлены различными причинами:

· ограниченной точностью изготовления прибора (погрешностью прибора). Шкала линейки может быть нанесена неточно (неравномерно); взвешивание может производиться с помощью неточных гирь; положение нуля термометра может не соответствовать нулевой температуре; капилляр термометра может иметь разное сечение в разных участках шкалы; стрелка амперметра может не располагаться на нуле в отсутствие электрического тока через прибор;

· такие ошибки часто возникают из-за того, что реальная установка в чем-то отличается от идеальной, или условия эксперимента отличаются от предполагаемых теорией, а поправки на это несоответствие не делаются. Систематическая погрешность возникает при измерении массы, если не учитывается действие выталкивающей силы воздуха на взвешиваемое тело и на разновесы; при измерениях объема жидкости или газа, если не учитывается тепловое расширение; при калориметрических измерениях, если не учитывается теплообмен прибора с окружающей средой. Другими примерами эффектов, которыми может быть обусловлена обсуждаемая ошибка, являются термо-ЭДС в контактах, сопротивление подводящих проводов, «мертвое» время счетчиков частиц;

· систематические ошибки могут быть обусловлены также неправильным выбором метода измерений. Например, мы совершим такую ошибку, определяя плотность какого-то материала посредством измерений объема и веса образца, если этот образец содержит внутри пустоты, например, пузыри воздуха, попавшие туда при отливке;

· мы допускаем систематическую погрешность, округляя численную величину до какого-либо приближенного значения, например, полагая π = 3, π = 3.1, π = 3.14 и т. д. вместо π = 3.14159265…

При наличии скрытой систематической погрешности результат, приведенный с незначительной ошибкой, будет выглядеть вполне надежным, хотя на самом деле он является неверным.

Классическим примером может служить опыт Милликена по измерению элементарного электрического заряда e. В этом эксперименте требуется знать вязкость воздуха. Милликен взял заниженную величину вязкости и получил

e = (1.591 ± 0.002)∙10^{- 19} Кл.

В настоящее же время принято значение

e = (1.60210 ± 0.00002)∙10^{- 19} Кл.

Долгое время величины ряда других атомных констант, таких, как постоянная Планка и число Авогадро, базировались на значении элементарного электрического заряда e, полученном Милликеном, и, следовательно, содержали ошибку, превышающую 0.5 %.

Систематические ошибки не поддаются математическому анализу, и поэтому их нужно выявить и устранить. Если удается обнаружить причину и найти величину сдвига (например, вес вытесненного телом воздуха при точном взвешивании), то систематическую погрешность можно исключить введением поправки к измеренному значению. Однако общих рецептов и универсальных правил, позволяющих обнаружить систематические ошибки конкретного измерения, не существует Выявление, оценка и устранение таких ошибок требует опыта, догадки и интуиции экспериментатора. Нужно тщательно продумывать методику опытов и придирчиво выбирать аппаратуру. Иногда систематическую ошибку, обусловленную измерительным прибором, можно уменьшить, используя более точный прибор, желательно, другого типа. Наиболее действенный способ обнаружения систематических ошибок – это сравнение результатов измерений одной и той же величины, выполненных принципиально разными методами.

Случайная ошибка

Случайные ошибки проявляются в разбросе отсчетов при повторении измерений в одних и тех же доступных контролю условиях.

Величина случайных ошибок различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Случайные ошибки происходят вследствие меняющихся от измерения к измерению неконтролируемых причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не всегда может быть учтено. Даже при взвешивании одними и теми же гирями мы, вообще говоря, будем получать разные значения веса. Источниками ошибок могут быть, например, колебания воздуха, воздействующие неодинаково на чашки весов; пылинка, осевшая на одну из чашек; нагревание одной половины коромысла от приближения руки взвешивающего; разное трение в правом и левом подвесах чашек и множество других причин, которые практически невозможно учесть. При измерениях периода колебаний маятника с помощью секундомера скажутся погрешности моментов пуска и остановки секундомера, ошибка в величине отсчета, небольшая неравномерность движения маятника вследствие трения. Случайные погрешности вызываются также сотрясениями здания. В опытах по измерению скорости радиоактивного распада ядер сама определяемая величина определена лишь статистически, как некоторое среднее значение, и флуктуации числа распадов в равные промежутки времени будут наблюдаться даже при идеально точной аппаратуре.

Проделав измерения и используя методы обработки, основанные на теории ошибок, можно дать оценку случайной ошибки и указать вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины находится внутри некоторого доверительного интервала.

Случайную ошибку можно уменьшить путем многократного повторения измерений.

Промах

Следует особо выделить такой вид ошибок, как грубый просчет, или промах. Под промахом понимается ошибка, сделанная вследствие неверной записи показаний прибора, недосмотра экспериментатора, или вызванна