Сила давления жидкости на криволинейную стенку.

Силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае определяются, тремя составляющими суммарной силы и тремя моментами.

При действии жидкости на цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии, сила давления жидкости сводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии. Возьмем криволинейную поверхность АВ, образующая которой перпендикулярна к плоскости чертежа (рис.3.12а), определим силу давления жидкости на эту поверхность.

Рис.3.12. Определение сил давления на криволинейную стенку; а) жидкость внутри сосуда; б) жидкость вне сосуда.

Выделим объем жидкости, ограниченный поверхностью АВ, вертикальными плоскостями, проведенными через границы этого участка ВС и AD, свободной поверхностью жидкости. Рассмотрим условия равновесия объема АВСD в вертикальном и горизонтальном направлениях.

Сила давления жидкости F действует на стенку АВ, стенка АВ удерживает действие жидкости силой реакции стенки - R, направленной в противоположную сторону.

Условие равновесия объема АВСD в вертикальном направлении имеет вид

Fв= Р₀Sг + G = Р₀Sг + ρgV_В, (3.6)

где Р₀ - давление на свободной поверхности жидкости; S_г - площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; G - вес выделенного объема жидкостиV₀, объем V_В называют объемом тела давления. Линия действия Fв проходит через ц.т. объема Vo.

Условие равновесия этого объема в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности ЕD и BC взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь AЕ т. е. на вертикальную проекцию поверхности S_в. Тогда

Fг= S_вρgh_c+ S_в Р₀ = S_в(ρgh_c+ Р₀). (3.7)

Направление горзонтальной силы находится по правилам , соответствующим силе, действующей на плоскую стенку.

Определив по формулам (3.7) и (3.6) вертикальную и горизонтальную составляющие полной силы Рж, найдем

(3.8)

Сила давления жидкости на криволинейную стенку будет равна силе реакции стенки Rж = P и направлена в противоположную сторону.

Когда жидкость расположена снаружи (рис.3.12б), сила гидростатического давления на криволинейную поверхность АВ определяется также, но направление ее будет противоположным.

В условия равновесия, как и в первом случае, входит вес жидкости G в объеме АВСD, хотя этот объем и не заполнен жидкостью.

Положение центра давления на цилиндрической стенке можно найти, если известны площади Sв и Sг и определен центр тяжести выделенного объема АВСD.

Для стенок постоянной кривизны (цилиндрических, сфериче­ских) полная сила давления проходит через центр или ось кри­визны стенки.

При избыточном давлении на смоченной стороне стенки все составляющие и полная сила давления жидкости направлены от жидкости на стенку (изнутри наружу), рис.3.13а.

В случае разрежения на смоченной стороне стенки силы на­правлены снаружи внутрь сосуда, рис.3.13б.

При двустороннем воздействии жидкостей на стенку сначала определяются горизонтальные и вертикальные составляющие с каждой стороны стенки в предположении одностороннего воз­действия жидкости, а затем суммарные горизонтальная и верти­кальная составляющие от воздействия обеих жидкостей.

На рис. 3.13 показано определение горизонтальной и верти­кальной составляющих и полной силы давления жидкости на симметричную стенку АВ при избыточном давлении (а) и при разрежении (б) на смоченной стороне стенки.

Объем, построенный на криволинейной поверхности, ограниченный цилиндрической вертикальной поверхностью и сверху пьезометрической плоскостью называется объемом тела давления.

Тело давления в обоих случаях ограничено пьезометрической плоскостью, сила давления в случае избыточного давления направлена наружу, в случае разряжения внутрь сосуда. В ряде задач силу давления на криволинейную стенку удобнее находить по ее составляющим вдоль наклонных осей.

Сила давления жидкости на стенку по любому заданному на­правлению s (рис. 3.14)

P_s= G_sCosα = ρgV_sCosα, (3.9)

где Gs - вес жидкости в объеме Vs, ограниченном стенкой, пье­зометрической плоскостью и проектирующей поверхностью, па­раллельной заданному направлению; α - угол между заданным направлением и вертикалью.

Рис.3.13. Силы давления на криволинейную стенку при действии: а) избыточном давлении в сосуде; б) при вакууме.

Линия действия силы Рs проходит через центр тяжести жидко­сти в объеме Vs.

Рис.3.14 Определение силы давления жидкости по заданному направлению.

В некоторых случаях для нахождения той или иной состав­ляющей силы давления жидкости на стенку следует разбить ее поверхность на отдельные участки, определить соответствующие усилия на каждый участок стенки и далее просуммировать их.

Для определения вертикальной составляющей силы дав­ления жидкости на полусферическую стенку abc следу­ет разделить поверхность полусферы горизонтальной плоскостью на верхнюю ab и нижнюю bc половины и найти вертикальные силы давления жидкости на каждую из них (рис. 3.15).

Рис.3.15 Определение силы давления жидкости на полусферическую стенку разбиением на два объема.

Вертикальная сила на стенку ab равна весу жидкости в объеме аbтп (Р_ab = ρgV_abmn) и направлена вверх; вертикальная сила на стенку bс равна весу жидкости в объеме сbтп (Р_bc = ρgV_сbтп) и направлена вниз. Следовательно, вертикальная сила давления на всю полусферу аbс равна разности указанных сил:

Pв = Pbc – Pab = ρg(V_bcmn - V_abmn) = ρgV_abc,

т.е. равна весу жидкости в объеме полусферы и направлена вниз.

Возможным приемом расчета силы давления является рассмотрение равновесия объ­ема жидкости, заключенного между стенкой и плоским сечением, проведенным через ее граничный контур. Например, тре­буется определить силу Р давления жидкости на коническую крышку (рис. 3.16).

Ри.3.16. Определение силы давления жидкости при рассмотрении

равновесия объема жидкости в крышке.

Условие равновесия объема жидкости, заполняющей конус, выражается векторным уравнением

,

где N - сила давления жидкости на выделенный объем, т.е. на плоское се­чение ас (N=ρgHF_ac ) и проходит по нормали к сечению через центр дав­ления D); G - вес выде­ленного объема жидкости (G = ρgV); R - сила действия конуса на жидкость. Так как искомая сила Fж равна и противоположна силе R, полу­чаем уравнение

,(3.10)

из которого можно определить силу давления Р или любую ее составляющую.

Плавание тел.

Выталкивающая сила является равнодействующей сил давления, с которыми жидкость, находящаяся в покое, действует на тело.

В жидкость погружено тело произвольной формы объемом Wт (рис.3.17).

Рис.3.17 Выталкивающая сила

На свободную поверхность жидкости тело проектируется в виде сечения S, по этой поверхности проведем цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой АВСD. Эта кривая отделяет верхнюю часть поверхности тела от нижней ее части.

Вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу жидкости в объеме АFCME.

F₁ = ρgW₁

Вертикальная составляющая силы давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме ANCMF.

F₂ = ρgW_2.

Разность между этими силами равна вертикальной равнодействующей сил давления жидкости на тело, будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме жидкости, вытесненной телом.

Gж = F₂ - F₁ = ρg(W₂-W₁)= ρgWт=F_A. (3.11)

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила направленная вертикально вверх, равная весу жидкости вытесненной телом и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тела.

Центр тяжести объема погруженной части тела называется центром водоизмещения или центром давления, так как в этой точке приложена равнодействующая сил давления на тело.

Объем жидкости, вытесненный телом, называется объемным водоизмещением.

Выталкивающая сила называется также силой Архимеда.

Вес G тела и архимедова сила могут находиться в следующих соотношениях:

1) G > F_А - отрицательная плавучесть, тело тонет;

2) G < F_А - положительная плавучесть, тело всплывает и плавает на поверхности жидкости;

3) G = F_А нулевая плавучесть, погруженное в жидкость тело плавает.

Линия пересечения свободной поверхности с поверхностью плавающего тела называется ватерлинией.

Для равновесия плавающего тела, кроме равенства G = F_А должен быть равен нулю суммарный момент. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной вертикали с центром водоизмещения.

Условие устойчивого равновесия тела, плавающего в полностью погруженном состоянии, заключается в следующем: центр тяжести тела должен находиться ниже центра водоизмещения.