Давление жидкости на криволинейную стенку

Составляющие равнодействующей гидростатического давления на произвольную криволинейную стенку Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru в общем случае определяются согласно следующим правилам

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ; Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ; Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ,  

где : 𝛒 – плотность жидкости;

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru – заглубление центра проекции поверхности на плоскости перпендикулярные осям Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ;

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru – площади проекций стенки на плоскости перпендикулярные осям Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ;

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru -- объем тела давления (объем жидкости, расположенной над поверхностью в направлении оси Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ).

4.1. Сила давления жидкости на криволинейную цилиндрическую стенку

Задача определения равнодействующей сил гидростатического давления на цилиндрическую стенку имеет практическое значение, так как в гидротехнических сооружениях часто используют конструкции с такой поверхностью соприкосновения (водонапорные баки, вальцовые, секторные и сегментные затворы).

Для цилиндрической стенки, находящейся под односторонним воздействием покоящейся жидкости равнодействующую сил избыточного давления можно определить, зная ее составляющие по координатным осям (рис.4.1).

Очевидно, что

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , (4.1)

где

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.2)

Если формулу (4.2) для составляющей Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru переписать иначе

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.3)

где Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru - давление в центре проекции стенки на плоскость Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ;

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru - площадь проекции стенки на плоскость Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ,

а формулу для составляющей Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru преобразовать к виду

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.4)

где Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru - объем жидкости, расположенный над поверхностью стенки, то можно сформулировать следующие правила:

· горизонтальная составляющая Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru равнодействующей гидростатического давления, действующего на цилиндрическую стенку, может быть определена, как равнодействующая давления на вертикальную проекцию этой стенки на плоскость Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ;

· вертикальная составляющая Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru равнодействующей гидростатического давления равна весу жидкости в объеме, ограниченном свободной поверхностью, цилиндрической поверхностью, воспринимающей давление, и торцевыми поверхностями Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (рис.4.2).

Рис. 4.1

Линию действия равнодействующей сил избыточного давления Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru можно найти, если установить линии действия составляющих Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . Положение этих линий определяется координатами Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru соответственно (рис. 4.1в).

Рис. 4.2

Для рассматриваемого случая расчетные формулы представлены ниже:

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.5)
Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.6)

Примеры решения задач

Пример 4.1

Определить силу полного давления на секторный затвор и ее направление. Глубина воды перед затвором H = 4 м , длина затвора L = 8 м , Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru .

Рис. 4.4

Решение

Горизонтальная составляющая силы давления воды Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru на секторный затвор ac равна силе давления воды на проекцию этого затвора на вертикальную плоскость, нормальную направлению Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.7)

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru − гидростатическое давление воды в центре тяжести Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru проекции секторного затвора на вертикальную плоскость, нормальную направлению Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ;

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru − глубина погружения центра тяжести проекции секторного

Тогда

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.8)

Вертикальная составляющая силы давления воды Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru на секторный затвор равна

весу воды в объеме фигуры длиной Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru с торцевыми поверхностями abc

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , (4.9)

где Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru − площадь фигуры abc.

Площадь фигуры abc

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru  

здесь Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru − радиус затвора.

Значение вертикальной составляющей силы давления

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.10)

Сила полного давления Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru равна равнодействующей сил давления Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.11)

Направление равнодействующей определяется углом Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.12)

Пример 4.2

Определить силу давления воды на один метр ширины затвора ( Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ), перекрывающего канал между двумя смежными камерами, если глубина воды в левой камере Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , а в правой камере Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ; R = 4 м, а = 2 м, Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Рис.4.5

Решение

Горизонтальная составляющая силы давления воды на затвор со стороны уровня h1 направлена слева направо и равна

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.13)

Горизонтальная составляющая силы давления воды на затвор со стороны уровня h2 определяется аналогично и имеет противоположное направление

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.14)

Равнодействующая горизонтальных сил

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.15)

Вертикальная составляющая силы полного давления воды на заданную криволинейную поверхность со стороны уровня h1 действует вверх и равна весу воды в объеме, ограниченном по торцам площадью Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru при ширине затвора Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.16)

Вертикальная составляющая силы полного давления воды со стороны уровня h2 действует вниз и равна весу воды в объеме, ограниченном по торцам площадью Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru и направлена вниз

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.17)

Следовательно, равнодействующая вертикальных сил будет равна весу воды в объеме с площадью поперечного сечения Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , (4.18)

где

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru  

Тогда находим

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , (4.19)

Сила полного давления воды на затвор Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru равна сумме

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru .  

Линия действия равнодействующей гидростатического давления должна проходить через ось цилиндрической поверхности. На рис. 4.5 она проходит через точку Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru и составляет с горизонталью угол Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.20)

Пример 4.3 Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Определить силу гидростатического давления воды на b=1 м ширины вальцевого затвора диаметром d=1,2 м при h1=1,2 м , h2 =0,5 м.

Рис. 4.6

Решение

Горизонтальную составляющую силы полного давления со стороны уровня h1

находим, как результирующую силу гидростатического давления на проекцию цилиндрической поверхности Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru на плоскость перпендикулярную оси Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.22)

Точка приложения силы Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru может быть вычислена из условия равенства моментов относительно оси Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru от составляющей гидростатического давления по оси Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru и силы Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.23)

Откуда получаем, что

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.24)

Численные значения

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.25)

Горизонтальная составляющая силы полного давления со стороны уровня h2 и ее

точка приложения определяются аналогично

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.26)

Проекция равнодействующей гидростатического давления на ось Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru равна

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.27)

Линия действия силы Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru делит отрезок Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru внешним образом на части обратно пропорциональные Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.28)

Так как Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , находим

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.29)

Далее получаем

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.30)

Вертикальная составляющая силы полного давления со стороны h1 равна весу воды в объеме с торцевым сечением Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (площадь половины круга, ширина затвора Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru )

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.31)

Вертикальная составляющая силы полного давления со стороны h2 равна весу воды в объеме с торцевым сечением Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.32)

где

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru  

Расчет по формуле (4.32) дает результат

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.33)

Так как Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru направлены в одну сторону и вверх, то их равнодействующая равна

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.34)

Что бы определить положение линии действия равнодействующей Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , установим расположения линий действия сил Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru и Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru .

Рис. 4.7

Вертикальная равнодействующая гидростатического давления на поверхности Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (рис. 4.7) определяется по формуле

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.35)

Знак минус указывает на то, что сила Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru направлена вертикально вверх. Это совпадает с ранее полученным результатом.

Равнодействующая Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru и элементарные силы гидростатического давления относительно начала координат ( точка Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ) должны создавать одинаковые моменты, что и позволяет найти координату Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , которая определяет положение линии действия силы Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.36)

Аналогичные действия для гидростатического давления со стороны Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru дают следующий результат

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.37)

Следовательно, вертикальная составляющая равнодействующей гидростатического давления имеет значение

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.38)

Положение линии действия силы Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru легко найти по правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. Линия действия составляющей Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru будет проходить на расстоянии Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , (см. рис. 4.7).

Координаты точки Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru и Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru в плоскости симметрии затвора, определяют точку Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , через которую проходит равнодействующая гидростатического давления Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . Второй точкой, через которую должна пройти линия действия силы Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , будет точка Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru на оси затвора. Это легко понять, если уяснить, что элементарные силы Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , действующие на площадке Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , образуют сходящуюся систему сил, линии их действия пересекаются в точке Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . Угол Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , который образует линия действия силы Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru с осью Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , равен

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.39)

Сила давления воды на затвор равна равнодействующей сил давления

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.40)

Пример 4.4

Для отливки полого чугунного цилиндра с наружным диаметром D = 500 мм , внутренним диаметром d = 400 мм и длиной l =1000 мм в опоку укладывается горизонтальный стержень А диаметром d и длиной Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru =1200 мм . Необходимо определить вес G верхней половины заливочного ящика Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , чтобы он не всплыл под действием давления жидкого чугуна с удельным весом Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , если удельный вес формовочной земли Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , а уровень верхнего края литника относительно оси стержня определяется высотой h=400 мм.

Рис. 4.8

Решение

При заливке литейной формы жидким чугуном верхняя часть заливочного ящика Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru находится под воздействием силы тяжести Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , гидростатического давления Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru на цилиндрической поверхности радиусом Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru и длиной Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , (4.41)

силы давления Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru всплывающего стержня Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , которая определяется разностью веса стержня Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru и равнодействующей гидростатического давления Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (всплывая стержень действует на часть Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru по поверхностям Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru - см. рис. 4.8)

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , (4.42)

где Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru .

Верхняя половина заливочного ящика не всплывет при условии

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , (4.43)

где Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ;

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru – равнодействующая гидростатического давления Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru .

Равнодействующая гидростатического давления Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru направлена вверх и равна

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.44)

Для определения силы Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru рассмотрим равновесие сил действующих на стержень Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , пренебрегая силами трения по его торцам

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , (4.45)

здесь Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru – сила тяжести стержня Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru ;

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru – равнодействующая гидростатического давления Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru .

Вычисляем

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru (4.46)

Сила Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru направлена вертикально вверх.

Вес стержня равен

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.47)

Тогда находим

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.48)

Теперь легко находим минимальный вес Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru , при котором верхняя половина заливочного ящика не всплывет

Давление жидкости на криволинейную стенку - student2.ru . (4.49)

Наши рекомендации