Графическое представление результатов измерений

Если исследуется функциональная зависимость одной величины от другой, то результаты могут быть представлены в виде графиков. При оформлении графиков необходимо соблюдать следующие правила.

1)Графики выполняются преимущественно на миллиметровой бумаге или бумаге со специальными координатными сетками.

2)В качестве координатных осей, как правило, следует применять прямоугольную систему координат. По оси абсцисс принято откладывать ту величину, изменения которой являются причиной изменения другой
(т. е. по оси абсцисс – аргумент, по оси ординат – функцию). Около осей координат необходимо написать названия величин, которые откладываются по ним, их обозначения и единицы измерения.

В тех случаях, когда аргументом являются угловые величины, удобнее применять полярную систему координат.

3)На осях координат необходимо нанести равноотстоящие друг от друга деления масштаба. При выборе масштаба необходимо исходить из следующего:

а) масштабы по обеим осям выбираются независимо друг от друга;

б) масштаб должен быть простым, удобным для нанесения экспериментальных точек. Этого можно достигнуть, если одно деление масштабной сетки будет соответствовать 1, 2, 5, 10, ... единицам изображаемой на графике величины.

в) масштаб рекомендуется выбирать так, чтобы вся площадь чертежа была использована;

г) начало координат (точку О,О) не обязательно помещать на график, это необходимо лишь в том случае, когда необходимо подчеркнуть, что кривая проходит через точку (О,О).

4)Экспериментальные точки наносить на чертеж в виде условных знаков небольшого размера (кружочки, квадратики, крестики и т.п.) с максимальной точностью (при этом отмечать на координатных осях значения измеренных на опыте величин недопустимо). Кроме самих экспериментальных точек, иногда указываются соответствующие этим точкам погрешности в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки.

5) По нанесенным на график экспериментальным точкам проводят плавную, без изломов, кривую. Существуют строгие математические методы (например, метод наименьших квадратов), позволяющие по полученным экспериментальным точкам провести "наилучшую" кривую. Однако если известна ожидаемая зависимость и разброс экспериментальных точек относительно ожидаемой зависимости небольшой, такую кривую можно построить "на глаз". Основное правило в таком случае: линию проводят так, чтобы число точек, лежащих выше и ниже ее, было одинаковым.

6) Если требуется определить какую-либо физическую величину по наклону графика, то следует провести касательную к графику в данной точке (если, конечно, график не является прямой линией), а затем определить тангенс угла наклона, достроив прямоугольный треугольник и измерив величины катетов этого треугольника. Каждый катет измеряется в соответствующих единицах и в своем масштабе. Если график − прямая линия, то прямоугольный треугольник можно строить в любом месте графика.

7)Если на одном чертеже необходимо построить графические зависимости, относящиеся к различным группам данных, то для их построения необходимо использовать линии и знаки разной стру-ктуры. Каждой кривой присваивается свой номер, и на свободном поле чертежа даются необходимые пояснения. Пример по-строения графика приведен на рисунке.

8)Графики снабжаются заголовками и пояснениями, содержащими точное и краткое описание того, что показывает график.

Метод наименьших квадратов

В задачи экспериментальной физики входит не только измерение конкретных величин, но и исследование зависимостей между физическими характеристиками.

Пусть в результате эксперимента получен ряд значений величины , соответствующих значениям аргумента , и необходимо построить график зависимости .

Характер теоретической зависимости обычно бывает известен из физического смысла задачи (например, зависит от по линейному или квадратичному закону). Однако экспериментальные точки вследствие неизбежных погрешностей, возникающих при измерениях, имеют разброс относительно ожидаемой графической зависимости.

Задача экспериментатора − провести по экспериментальным точкам линию, которая давала бы наилучшее согласие между экспериментальными результатами и теоретической зависимостью .

Для решения подобных задач применяется метод наименьших квадратов (МНК).

Ограничимся случаем, когда ожидаемую зависимость между и можно полагать линейной. Тогда функция записывается в следующем виде:

. (21)

В основе МНК лежит положение, согласно которому наилучшим приближением к теоретической будет такая прямая линия, для которой сумма квадратов разностей экспериментальных значений и соответствующих вычисленных значений является минимальной.

То есть наиболее вероятные значения параметров и выбирают так, чтобы сумма была минимальной:

.

Условие минимума выполняется, если равны нулю частные производные и :

,

.

Записанные соотношения являются системой линейных алгебраических уравнений:

, (22)

. (23)

Решение системы уравнений (22) и (23) приводит к следующим значениям искомых параметров и :

, (24)

. (25)

Примечание.Значения параметров и не изменится, если ввести в (24) и (25) другие переменные:

; ,

где и определяются соответственно как

, ,

однако расчетные формулы и при этом упрощаются:

, (26)

. (27)

Коэффициенты, вычисленные по формулам (24) и (25) или (26) и (27), полагаются наилучшими приближенными значениями (оценками) параметров и линейной функции (21). Их значения можно использовать для вычисления при произвольных значениях аргумента .

В тех случаях, когда до опыта известно, что зависимость проходит через начало координат, т.е. ожидаемую зависимость можно представить в виде

, (28)

значение параметра , согласно МНК, находят из условия минимума суммы:

. (29)

Дифференцируя (29) по параметру и приравнивая нулю, получаем:

. (30)

Рассчитанное по формуле (30) значение параметра является наилучшим в функциональной зависимости .

Метод наименьших квадратов дает не истинные параметры и в линейной зависимости , а их наиболее вероятные приближённые значения. Следовательно, при построении искомой прямой линии, аппроксимирующей экспериментальную зависимость, кроме значений параметров и , необходимо в общем случае знать и доверительные интервалы, в которых они лежат. Для этого требуется оценить среднеквадратичные погрешности, с которыми и определены.

Математическая статистика даёт следующие выражения для среднеквадратичных погрешностей параметров и :

, (31)

. (32)

В частном случае, когда прямая проходит через точку , , вычисляют среднеквадратичную погрешность определения только параметра :

. (33)

Полуширину доверительного интервала, с которой определено значение параметра , вычисляют по стандартной методике:

, (34)

здесь – коэффициент Стьюдента для надежности и числа пар точек .

Пример. В эксперименте получено пять измерений величин и , результаты которых приведены в таблице. Известно, что уравнение измерения имеет вид . Используя метод наименьших квадратов, рассчитать наилучшее значение коэффициента и погрешность , с которой этот коэффициент определён. Построить наилучшую прямую.

Для наглядности сведём исходные данные и результаты расчетов в таблицу.

	0,4 0,8 1,2 1,6 2,0	0,50 1,40 1,66 2,80 3,20	0,16 0,64 1,44 2,56 4,00	0,20 1,12 1,99 4,48 6,40	1,61	-0,144 0,112 -0,272 0,224 -0,020	0,0207 0,0125 0,0740 0,0502 0,0004	0,19

1) По формуле (30) найдем величину параметра :

2) По формуле (33) оценим среднеквадратичную погрешность определения параметра :

.

3) Задаем значение доверительной вероятности . По таблице определяем значение коэффициента Стьюдента (при и ).

4) По формуле (34) вычислим абсолютную погрешность определения параметра :

.

5) Окончательный результат:

при доверительной вероятности .

6) Запишем уравнение наиболее правдоподобной прямой:

.

7) Поскольку зависимость линейная, то для построения графика достаточно найти только одну точку и провести прямую через начало координат и найденную точку. Эта прямая (см. рис.) и будет "наилучшей" прямой, описывающей заданную функциональную зависимость.

Примечание. Если экспериментальная зависимость заменяется аналитическим уравнением прямой линии, то при определении абсолютной погрешности величины , соответствующей значению аргумента , применяется метод переноса ошибок (см. 1.7). В частности, если прямая проходит через начало координат, абсолютная погрешность равна:

,

где абсолютная погрешность определения параметра .

ЧАСТЬ 3

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ