II. Графическое представление результатов измерений

В ряде случаев для большей наглядности, экспериментальные данные целесообразно представлять графически в виде точек или линий. Такие графики позволяют быстро распознать характер исследуемых зависимостей, а в ряде случаев позволяют даже установить вид исследуемых зависимостей.

Приведем общие рекомендации для построения графиков.

1.Для графиков используется миллиметровая бумага с линейным масштабом.

2. Масштаб для построения графиков выбирается исходя из следующих соображений:

а) экспериментальные точки не должны сливаться

б) графики, близкие к прямым линиях, должны располагаться, примерно, под углом

45 градусов к осям координат

в) следует использовать либо десятичный масштаб (0,1; 1;10;100 и т.д. единиц

измеряемой величины в 1 см.), либо масштабы 2:1 или 5:1.

г) начало координат (X = 0 ,Y= 0) не обязательно должно присутствовать на графике.

д) снизу или справа от оси абсцисс, слева или сверху от оси ординат следует указать

название или (и) обозначение физической величины и через запятую- единицу

измерения, относя сюда и возможный десятичный множитель. Благодаря последнему,

масштабные деления на осях помечаются, как правило, не более чем трехзначными

числами.

3. При построении графиков следует придерживаться следующих правил:

а) первоначальную разметку масштаба и нанесение экспериментальных точек выполнять

мягким карандашом и лишь окончательно чернилами.

б) если на одном графике необходимо сравнить несколько экспериментальных

зависимостей, то следует пользоваться разными обозначениями для точек,

относящихся к разным величинам (например, II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru и т.д.) можно использовать так

же разные цвета.

в) при сравнении экспериментальной и теоретической зависимостей теоретическую

кривую следует построить по произвольно выбранным точкам, а экспериментальную

кривую лучше не строить, указать отрезками при каждой точке величины

погрешностей.

г) не соединять экспериментальные точки ломаной линией. Наилучшую плавную кривую

следует провести с помощью лекал.

д) наиболее удобны для зрительного восприятия прямолинейные графики. Поэтому, если

есть возможность, следует преобразовать исследуемую зависимость в линейную и

изображать на графике зависимость между теми величинами, между которыми связь

линейная. Например, экспоненциальные зависимости II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru или логарифмические

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru удобно представлять в полулогарифмических координатах, а степенные -

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru в логарифмических координатах.

Необходимо хорошо представлять себе, что физические формулы записываются не для физических величин, а для их численных значений. Другими словами, эти формулы представляют собой численные равенства.

Согласно Международному стандарту ИСО 31/0 (Общее положение к ИСО 31), аргументами показательных и логарифмических функций должны быть или безразмерные величины или числовые значения величин.

В качестве примера, рассмотрим представление экспериментальных данных, полученных в результате исследования зависимости вязкости крови от показателя гематокрита (данные взяты из монографии «Механика кровообращения» авт. К. Каро,

Т. Педли д.р.)

Показатель гематокрита, H 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Вязкость крови, η [Па*с] 0,028 0,080 0,229 0,653 1,867 5,336 15,250 43,579
Ln(η) -3,58 -2,53 -1,48 -0,43 0,63 1,68 2,73 3,78

По оси абсцисс откладываем показатель гематокрита H, а по оси ординат соответствующую этим значениям вязкость крови.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Нанесенные точки указывают на криволинейную зависимость. График получается очень не наглядным, и сделать какие либо предположения о характере зависимости практически невозможно

Добавим нашу таблицу строкой Ln(η) и перестроим график в полулогарифмических координатах, откладывая по оси ординат не вязкость, а численное значение логарифма вязкости.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Экспериментальные точки теперь хорошо укладываются на прямую линию, что дает возможность предположить о наличии экспоненциальной зависимости коэффициента вязкости от показателя гематокрита.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru η = η0 exp(αH).

Более того, по графику, экстраполируя прямую до пересечения с осью ординат можно определить вязкость при нулевом гематокрите, т.е. вязкость плазмы крови: η0 = 0,0012 Па*с Тангенс угла наклона прямой дает возможность определить показатель степени экспоненты

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Окончательно имеем:

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru , Па*с η = 0,0012 exp(10,4H),Па*с

Пример 6

В той же монографии представлены данные зависимости коэффициента вязкости крови η от скорости сдвига II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Скорость сдвига, II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru [1/c] 0.2 0.5
Коэффициент вязкости, η [Па*с] 57.7 38.3 27.4 14. 10.1 3.7
Ln ( II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru ) -1.609 -0.693 1.609 2.303 3.912 4.605 6.215
Ln (η) 4.055 3.645 3.311 2.639 2.313 1.609 1.308 0.693

Представим экспериментально полученные данные на графике

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Опять получаем очень не наглядный график, и сделать какие либо предположения о характере зависимости практически невозможно.

Перестроим график в полулогарифмических координатах: η; Ln ( II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru )

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

График становится более наглядным, однако сказать что- либо определенное о характере зависимости невозможно.

Перестоим график в логарифмических координатах Ln (η ) ; Ln ( II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru )

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Точки хорошо укладываются на прямую линию. Полученная линейная зависимость позволят предположить о степенной зависимости вязкости η от скорости сдвига II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru .

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Определяя из графика η0 = 27,1 [Па*с] и m = tg α = - 0,43

Окончательно получим:

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru , Па*с

III. Метод наименьших квадратов.

Очень часто, несмотря на просматриваемый линейный характер исследуемой зависимости, экспериментальные точки не укладываются на прямую, имея значительный разброс.

В этом случае, для обработки результатов экспериментальных данных применяют метод наименьших квадратов.

1.Предполагается, что величины х и y связаны линейной зависимостью.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

однако коэффициенты II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru и II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru неизвестны.

2.Предполагается, что ошибка при измерении величины II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru , значительно (по крайней мере,

на порядок) меньше ошибки при измерении величины y . Поэтому погрешностью в

измерении II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru можно прене­бречь.

З.Для определения II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru и II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru выполняем II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru пар измерений

4.Если считать, что II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru - точное значение, то ему должно соответствовать значение

yi ,равное II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru ; а в экспери­менте получено другое значение yi , которое, вообще

говоря, не совпа­дает с II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru . (см. график)

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru расстояние первой точки от предполагаемой прямой

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru расстояние второй точки от предполагаемой прямой

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru расстояние i -ой точки от предполагаемой прямой

……………………………………………………………………………….

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru расстояние n-ой точки от предполагаемой прямой

5.Согласно теории метода, значения a и b следует опреде­лять следующим образом.

Т.к. эти расстояния будут встречаться как с положительным, так и с отрицательным

знаком необходимо взять сумму квадратов этих расстояний

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Это выражение по смыслу представляет собой сумму квадратов отклонений измерен­ных yi от истинных. В методе наименьших квадратов утвержда­ется, что наилучшими оценками истинных значений коэффициентов II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru и II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru служат значения, обеспечивающее минимум величины II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru (отсюда название метода). Должны выполняться условия:

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru и II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru .

Найдем эти частные производные и приравняем их нулю.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

1) II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

2) II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Т.к. вторые производные больше 0, функция II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru , при найденных

a и b, будет минимальна.

Из первого уравнения получаем

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Из второго

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru или II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Отсюда II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru (15)

Подставляя найденное II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru в первое уравнение, получим:

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru (16)

На практике сначала находят коэффициент II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru затем коэффициент II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru .

Пример 7

Заданы 10 пар измеренных значений xi и yi

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru 13.68 3.08 0.97 0.37 12.95 18.28 8.63 4.85 13.08 0.46
II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru 32.04 -4.74 -4.93 -21.90 3.35 21.09 -5.06 4.41 6.77 -38.41

Наносим эти точки на график (см. рис.3). Точки имеют значительный разброс и «на глаз» провести усредняющую прямую невозможно.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Рис.3

Заполняем таблицу.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru
II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru 13.68 3.08 0.97 0.37 12.95 18.28 8.63 4.85 13.08 0.46 76.35
II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru 32.04 -4.74 -4.93 -21.90 3.35 21.09 -5.06 4.41 6.77 -38.41 -7.38
II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru 187,14 9,49 0,94 0.14 167.76 334.26 74.55 23.54 171.09 0.21 968.87
II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru 438.26 -14.61 -4.78 -8.14 43.35 385.50 -43.71 21.39 88.60 -17.55 888.33

Последний столбец таблицы используют для нахождения коэффициентов II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru и II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru по формулам (16) и (15). В нашем случае a = 2,45 b = -19,43

По найденным коэффициентам на графике по двум произвольно взятым значениям II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru и II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru строят прямую линию, y = 2,45 x – 19,43, которая является наилучшим усреднением экспериментальных точек.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Если зависимость между исследуемыми величинами нелинейная, то путем замены переменных ее можно преобразовать к линейной, после чего можно воспользоваться изложенным методом.

В качестве примера рассмотрим обработку экспериментальных данных при проведении лабораторной работы «Методы измерения температур».

В работе снимается зависимость сопротивления термистора r от температуры T, которая определяется с помощью термопары. Эта зависимость не линейная и имеет вид:

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru ,

где: А - некоторая постоянная; U-энергия активации; T-абсолютна температура; к - постоянная Больцмана. Применить метод наименьших квадратов для обработки результатов сразу нельзя. Преобразуем эту зависимость в линейную. Логарифмируя левую и правую часть, получим:

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Как видно, теперь существует линейная зависимость между II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru и II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru .

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Полученные экспериментальные данные занесем в первые две строки таблицы.

Заполним оставшиеся строки таблицы.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru
r, кОм 3.000 3.556 4.250 5.143 6.333 8.000 10.500 14.667 23.000 --------
T,K 381.2 378.4 372.8 367.2 360.2 350.4 342.0 332.2 319.6 --------
1/T *10 3 ,1/K 2.623 2.643 2.682 2.723 2.776 2.854 2.924 3.010 3.129 25.365
Ln(r) 1.099 1.269 1.447 1.638 1.846 2.079 2.351 2.686 3.135 17.549
(1/T*10 3) 2 ,1/K 2 6.882 6.984 7.195 7.416 7.707 8.145 8.550 9.062 9.790 71.731
Ln(r)* 1/T *10 3 2.882 3.352 3.881 4.460 5.124 5.934 6.875 8.084 9.811 50.404

Данные, представленные в 4 и 5 строках таблицы нанесем на график. Точки имеют некоторый разброс, но так как зависимость теперь линейная, можно применить метод наименьших квадратов.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Заполняем 6 и 7 строки таблицы и рассчитываем коэффициенты a и b

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

По найденным коэффициентам проводим прямую, усредняющую экспериментальные точки.

II. Графическое представление результатов измерений - student2.ru

Наши рекомендации