Учет погрешностей при косвенных измерениях

В большинстве случаев величина, интересующая экспериментатора, не может быть измерена непосредственно. Тогда используют косвенные измерения.

При косвенном измерении значение искомой величины находят по некоторой известной зависимости от параметров , значения которых можно определить в результате прямых измерений:

(14)

При этом могут встретиться две ситуации.

1.7.1. Прямые измерения величин проводятся в одних и тех же условиях одними и теми же приборами.

В этом случае наиболее близким к истинному значению является его среднее значение , которое получается при подстановке в (14) средних значений непосредственно измеренных величин:

.

Погрешности , с которыми определены величины , сказываются на точности определения . Поэтому истинное значение может отличаться от , т.е. оно будет определено с погрешностью .

Для нахождения интервала , в котором заключено истинное значение , применяют метод переноса ошибок, использующий дифференциальное исчисление.

а) Пусть косвенно измеряемая величина зависит только от одной

непосредственно измеряемой величины , то есть . В этом случае абсолютную погрешность представляют как разность:

,

для которой справедливо приближенное выражение:

Таким образом,

. (15)

Используя методы математической статистики, можно показать, что если определено при доверительной вероятности , то и вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале , тоже равна .

б) Если косвенно измеряемая величина является функцией многих переменных, т.е. , то по формуле (15) можно вычислить погрешности , , …, обусловленные погрешностями определения каждого аргумента:

, , и т. д. (16)

В (16) , , ,… – частные производные функции по соответствующей переменной. (Частная производная функции многих переменных по одной переменной является обычной производной этой функции по этой переменной при условии, что все другие переменные считаются постоянными параметрами).

Общую погрешность в этом случае можно оценить по формуле

,

или, с учётом (16):

. (17)

В (17) численные значения производных рассчитываются при значениях , и т. д., , , … – абсолютные погрешности величин , ,…, рассчитанные по методике обработки результатов прямых измерений при одной и той же доверительной вероятности .

Относительную погрешность при косвенных измерениях вычисляют по формуле:

. (18)

Примечание.Относительную погрешность косвенных измерений можно найти непосредственно, воспользовавшись формулой:

, (19)

где ,… частные производные по соответствующим переменным.

Абсолютная погрешность в этом случае вычисляется по формуле

. (20)

1.7.2. Прямые измерения величин проводятся при невоспроизводимых условиях, т.е. тогда, когда условия проведения опытов изменяются от опыта к опыту.

В этом случае значение косвенно определяемой величины вычисляется для каждого конкретного опыта: , , и т.д. Полученные значения обрабатываются как результаты прямых измерений, а именно, определяется среднее арифметическое значение

и соответствующая ему случайная погрешность (см. 2).

За величину полной абсолютной погрешности обычно принимают .

Примечание. Если результаты вычислений оказались одинаковыми (такие ситуации встречаются редко), то в качестве абсолютной погрешности берут приборную погрешность . Для ее определения с помощью (17) или (19) выводят расчетную формулу для абсолютной ( ) или относительной погрешности величины . В формулу в качестве подставляют приборные погрешности , , , а в качестве подставляют значения какого-либо одного из опытов. Для того чтобы не получить сильно завышенное или сильно заниженное значение приборной погрешности, выбирается опыт с промежуточными (не минимальными и не максимальными) значениями параметров . Полная погрешность в этом случае .

1.8. Последовательность действий при обработке результатов
косвенных измерений

1) Для каждой серии непосредственно измеренных величин, входящих в выражение искомой величины, провести математическую обработку результатов (см. 1.5) для одной и той же доверительной вероятности .

2) Вычислить значение искомой величины , подставляя в расчетную формулу средние значения непосредственно измеренных величин.

3) Вывести формулу для расчета абсолютной или относительной погрешностей, согласно (17) или (19).

Замечание. Выводить формулы для абсолютной и относительной погрешности искомой величины одновременно нет смысла, поскольку они связаны простыми соотношениями:

; .

Какую из величин, или , следует вычислять сначала, зависит от конкретного вида функции (14). Единых рекомендаций дать невозможно. Однако если расчетная формула легко логарифмируется, то проще вычислить сначала относительную погрешность.

4)Вычислить абсолютную и относительную погрешности результата.

5) Произвести округление результатов расчета (см. 10) и записать окончательный результат в виде:

с указанием надежности и относительной погрешности .

Примечание 1. Если в расчетную формулу входит величина, измеренная заранее (то есть в данном эксперименте она не измеряется) и для неё не указано значение погрешности, то абсолютную погрешность, с которой определена эта величина, принимают равной единицы наименьшего разряда, представленного в числе.

Пример.Дана масса тела ; погрешность следует принять равной .

Примечание 2. Если в расчетную формулу наряду с измеренными величинами входят константы, например, число , табличные данные или основные физические постоянные (скорость света в вакууме, ускорение свободного падения и т.д.), то при вычислении погрешности величины следует учитывать и их погрешности:

а) если константа содержит число значащих цифр с "запасом" (на одну–две больше, чем требуемая точность вычисляемой величины), то погрешность, которую вносит в конечный результат эта константа, можно не учитывать;

б) если количество значащих цифр в используемой константе не достаточно, чтобы вносимой ею погрешностью можно было пренебречь, то за погрешность этой константы берется число, равное половине наименьшего разряда в её записи.

Примечание 3. Если какая-либо экспериментально определяемая величина, входящая в расчетную формулу, измерена только один раз, то за её погрешность принимают значение приборной погрешности используемого измерительного инструмента.

Примечание 4. Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях, то при обработке результатов использовать методику, предложенную в 1.7 (1.7.2).

Пример обработки результатов

Косвенных измерений

Пример. Определить массу шара по известному значению плотности материала и измеренному многократно диаметру : (погрешность диаметра определялась с надежностью ). Оценить погрешности определения массы.

1) Находим среднее значение массы по формуле:

.

(В соответствии с правилами приближенных вычислений в этом, еще неокончательном результате, сохранена одна запасная цифра.)

2)Выведем формулу для относительной погрешности , воспользовавшись (19), поскольку выражение для легко логарифмируется.

Логарифмируем функцию и находим частные производные по соответствующим переменным:

.

Подставим полученные выражения производных в формулу для :

3) Вычислим относительную погрешность:

(Погрешность табличной величины принимаем равной 0,5 единицы наименьшего разряда числа , т.е. . Погрешность числа также принимаем равной 0,5 единицы наименьшего разряда числа 3.14, т. е. ).

4) Вычислим абсолютную погрешность , воспользовавшись формулой (20):

.

5) Запишем окончательный результат, соблюдая правила округления при его записи:

.

Замечание. Все вычисления выполнены в соответствии с правилами, изложенными в 1.10.