Mocniny s pшirozenэm a celэm exponentem

Mocniny s pшirozenэm exponentem

V matematice se snaћнme o co nejstruиnмjљн zбpisy. Souиet 8 + 8 + 8 + 8 struиnм zapнљeme jako souиin 4 . 8. Podobnм souиin 8 . 8 . 8 . 8 struиnм zapнљeme jako mocninu 8⁴. Souиasnм pouћнvanэ zбpis mocnin byl zaveden francouzskэm matematikem a filozofem Renй Descartem v dнle Gйomйtrie, kterй vyљlo v roce 1637.

Definice mocniny: Pro kaћdй reбlnй инslo a a kaћdй pшirozenй инslo n je , kde v souиinu na pravй stranм je n иinitelщ.

Z definice vyplэvб, ћe

a) pro kaћdй reбlnй инslo a platн a¹ = a,

b) pro kaћdй pшirozenй инslo n platн 1ⁿ = 1 a 0ⁿ = 0.

Zkoumбme-li, kdy je mocnina s pшirozenэm mocnitelem kladnй a kdy zбpornй инslo, mщћeme z definice pшнmo zapsat:

pro kaћdй a О R a pro kaћdй n О N platн:

a) je-li a > 0, pak aⁿ > 0,

b) je-li a < 0, pak a²ⁿ > 0,

c) je-li a < 0, pak a^2n-1 < 0.

V matematice, pшнrodnнch i technickэch oborech иasto pracujeme s velkэmi инsly, kterб zpravidla zapisujeme pomocн mocnin se zбkladem 10, tj. ve tvaru , kde , n О N. Exponent n urинme tak, ћe zjistнme шбd prvnн platnй инslice zapisovanйho инsla.

Pravidla pro poинtбnн s mocninami: Pro kaћdб dvм reбlnб инsla a, b a pro kaћdб pшirozenб инsla r, s platн:

Pшнklad 1:

Zapiљte ve tvaru , kde , n О N, nбsledujнcн инselnй ъdaje:

a) Povodн Amazonky mб rozlohu 6 900 000 km².

b) Rozloha Antarktidy je 13 000 000 km².

c) Vэkon elektrбrny dosбhl 1 320 000 000 W.

d) Инnskб zeп mб dйlku 8 800 km.

Шeљenн:

a) 6 900 000 = 6,9 . 10⁶

b) 13 000 000 = 1,3 . 10⁷

c) 1 320 000 000 = 1,32 . 10⁹

d) 8 800 = 8,8 . 10³

Pшнklad 2:

Vypoинtejte:

Шeљenн:

Pшнklad 3:

Vypoинtejte:

Шeљenн:

Cviиenн 1:

1. Vypoинtejte:

1. Zjednoduљte vэraz a vэsledek zapiљte pomocн celoинselnэch mocnin prvoинsel:

Mocniny s celэm exponentem

Nynн pojem mocnina rozљншнme tak, aby mocnitelem mohlo bэt libovolnй celй инslo. V tйto kapitole je ъиelnй rozљншit definici mocniny i pro mocnitel nula a nultou mocninu reбlnйho инsla a ¹ 0 definovat takto:

Pro kaћdй reбlnй инslo a ¹ 0 platн a0 = 1.

Dбle rozљншнme definici mocniny i o zбpornйho mocnitele:

Pro kaћdй reбlnй инslo a ¹ 0 a pro kaћdй celй инslo m platн:

Pшi odstraтovбnн zбpornйho mocnitele postupujeme tedy tak, ћe zбklad mocniny nahradнme pшevrбcenэm инslem a mocnitele nahradнme инslem opaиnэm.

Pravidla pro poинtбnн s mocninami: Pro kaћdб dvм reбlnб инsla a, b a pro libovolnб celб инsla r, s platн:

Pшнklad 4:

Za pшedpokladu, ћe a, b, c jsou nenulovб reбlnб инsla, vypoинtejte:

Шeљenн:

Cviиenн 2:

Zjednoduљte a vэsledek zapiљte jako mocniny s pшirozenэm mocnitelem:

Pravoъhlэ trojъhelnнk

Pythagorova vмta

Zopakujte si, co jiћ o pravoъhlйm trojъhelnнku vнte:

· Pшepona je strana, kterб leћн proti pravйmu ъhlu; je nejdelљн stranou pravoъhlйho trojъhelnнku.

· Oba ъhly pшilehlй k pшeponм jsou ostrй a jejich souиet je 90°.

· Odvмsny jsou strany leћнcн na ramenech pravйho ъhlu.

· Obvyklй oznaиenн v pravoъhlйm trojъhelnнku – obr.2.

Obrбzek 2 – Oznaиenн v pravoъhlйm trojъhelnнku

· Strana AB = c je pшepona.

· Strany AC = b a BC = a jsou odvмsny.

Pythagorova vмta popisuje vztah, kterэ platн mezi dйlkami stran pravoъhlэch trojъhelnнkщ v rovinм. Umoћтuje dopoинtat dйlku tшetн strany takovйho trojъhelnнka, kde jsou znбmy dйlky dvou zbэvajнcнch stran.

Vмta znн: Obsah иtverce sestrojenйho nad pшeponou (nejdelљн stranou) pravoъhlйho trojъhelnнka je roven souиtu obsahщ иtvercщ nad jeho odvмsnami (dvмma kratљнmi stranami). (obr. 3)

Matematicky mщћeme tuto vмtu zapsat:

Obrбzek 3 – Pythagorova vмta

Poznбmka: Pythagoras ze Samu byl шeckэ matematik, kterэ ћil v letech 580-500 pш. n. I. Studoval matematiku a astronomii v Egyptм a v Babylonii. Ћil v jiћnн Itбlii a na Sicнlii, kde zaloћil slavnou filozofickou љkolu, kterб vэznamnм pшispмla k rozvoji matematiky. Pythagorejci objevili napш. znбmou vмtu, ћe souиet velikostн vnitшnнch ъhlщ v trojъhelnнku je 180°, dбle geometrickй шeљenн kvadratickэch rovnic, zjistili tйћ, ћe dйlka ъhlopшниky иtverce nenн ћбdnэm racionбlnнm nбsobkem dйlky jeho strany. Tak vlastnм objevili iracionбlnн инsla.

Zajнmavй je, ћe Pythagorova vмta, kterб Pythagora nejvнce proslavila, byla znбma ve zvlбљtnнch pшнpadech jiћ dlouho pшed Pythagorem ve starй Инnм (2000 let pш.n.l.) a v Indii (800 let pш. n. l.).

Pшнklad 1:

Dйlka odvмsny a v pravoъhlйm trojъhelnнku ABCje 3 cm, dйlka odvмsny b je 4 cm, vypoинtejte dйlku pшepony.

Шeљenн:

Δ ABC; a = 3, b = 4, c = ?

Obrбzek 4 – Mмшenн pravйho ъhlu v Egyptм

Tomuto trojъhelnнku se nмkdy шнkб trojъhelnнk 3, 4, 5 a je to jeden z tzv. Pythagorejskэch trojъhelnнkщ, coћ jsou pravoъhlй trojъhelnнky, jejichћ dйlky stran jsou vyjбdшeny celэmi pшirozenэmi инsly. Nejvмtљн z trojice инsel vyjadшuje dйlku pшepony. Z dalљнch Pythagorejskэch trojъhelnнkщ uveпme tшeba trojъhelnнk 6, 8, 10 nebo 5, 12, 13. Mщћete si ovмшit, zda to skuteиnм platн.

Pшнklad 2:

Dмtskй hшiљtм tvoшн obdйlnнk o stranбch 12 m a 15 m. Urиete dйlku ъhlopшниky tohoto obdйlnнku.

Шeљenн:

Dйlka ъhlopшниky je 19,2 m.

Obrбzek 5 – Obdйlnнk

Pшнklad 3:

Vypoиtмte vэљku rovnostrannйho trojъhelnнku o stranм a = 10 dm.

Шeљenн:

Velikost vэљky je 8,7 dm.

Obrбzek 6 - Trojъhelnнk

Pшнklad 4:

Na obrбzku 7 jsou body K, L, M, N stшedy stran иtverce ABCD se stranou dйlky 4 cm. Vypoинtejte obsah a obvod љestiъhelnнku AKLCMN.

Obrбzek 7 - Љestiъhelnнk

Шeљenн:

|AK| = |LC| = |CM| = |NA| = 2 cm

|KL|² = |KB|² + |BL|²

|KL|² = 2² + 2²

|KL| =

|KL| =

|KL| = 2,8 cm

|KL| = |MN| = 2,8 cm

Obvod љestiъhelnнku je 13,6 cm a obsah je 12 cm².

Cviиenн 1:

1. Vypoинtejte dйlku ъhlopшниky AC obdйlnнku ABCD, je-li dбno a = 15 cm a b = 8 cm.

[17 cm]

2. Kolik korun stojн omнtnutн љtнtu domu tvaru rovnoramennйho trojъhelnнku, stojн-li 1 m² omнtky 115 Kи? Zбkladna trojъhelnнku je 16 m a ramena majн dйlku 10 m.

[5 520 Kи]

3. Иtverec mб ъhlopшниku dlouhou 18,2 cm. Vypoинtejte obvod иtverce:

[51,6 cm]

4. Tyи dйlky 8,5 m je opшena o zeп. Jejн spodnн konec se opнrб o zem ve vzdбlenosti 1,8 m od zdi. Do jakй vэљky na zdi sahб hornн konec tyиe? [8,31 m]

5. Mostnн kruhovэ oblouk mб rozpмtн 30 m a vэљku 5 m. Vypoинtejte polomмr kruћnice, jejнћ ибstн je kruhovэ oblouk. [25 m]