Указания к выполнению домашнего задания 1

Домашнее задание по темам I – III

Задача 1. Вычислить вероятность событий, используя классическое определение вероятности и формулы комбинаторики:

Инвестор формирует пакет из R акций. В его распоряжении имеются N акций нефтяной компании, M акций банков и K акций телекоммуникационной компании. Найти вероятности следующих событий:

а) инвестор сформировал пакет из n акций нефтяной компании, m акций банков и k акций телекоммуникационной компании;

б) в пакете, сформированном инвестором, имеется хотя бы одна акция нефтяной компании.

Задача 2. Вычислить вероятности событий, используя основные теоремы теории вероятностей (сложения, умножения):

Три брокера играют на бирже. Предполагается, что вероятности событий «провести торги с прибылью за текущий период» для брокеров равны , , . Какова вероятность того, что за текущий период:

а) все три брокера проведут торги с прибылью;

б) хотя бы один из трёх брокеров проведёт торги с прибылью;

в) один брокер проведёт торги с прибылью, а два других – без прибыли?

Задача 3. Вычислить вероятности событий, применяя формулы полной вероятности или Байеса:

Имеется три одинаковые коробки с коллекционными монетами. В первой коробке m₁ российских и m₂ канадских монет, во второй – n₁ российских и n₂ канадских, в третьей – r₁российских и r₂ канадских. Наудачу выбирается коробка, и из нее вынимают две монеты.

а) Найти вероятность, что они разные (российские и канадские).

б) Они оказались разными. Из какой коробки вероятнее всего они были извлечены?

Задача 4. Вычислить вероятности событий по формулам Бернулли или Пуассона:

1.Вероятность того, что некий студент может сдать экзамен сессии на отлично равна p. В сессию он должен сдать Nэкзаменов. Найти вероятности того, что студент сдаст на отлично:

а) n экзаменов;

б) от n₁ до n₂экзамена;

в) хотя бы один экзамен;

г) найти наиболее вероятное число экзаменов, сданных на отлично, и его вероятность.

2.Вероятность изготовления бракованной детали равна p. Определить вероятность того, что из N деталей число бракованных составит:

а) n деталей;

б) хотя бы две.

3.Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна р. Сколько нужно купить лотерейных билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью P, не меньшей, чем 0,95?

Данные по вариантам:

№ варианта	задача 1	задача 2
R	N n	M m	K k
					0,2	0,4	0,7
					0,3	0,5	0,8
					0,5	0,6	0,9
					0,3	0,7	0,2
		6 6			0,7	0,4	0,5
					0,8	0,3	0,7
					0,6	0,2	0,5
					0,1	0,9	0,4
					0,2	0,5	0,6
					0,4	0,6	0,8
					0,6	0,7	0,5
					0,9	0,5	0,3
					0,7	0,5	0,1
					0,5	0,8	0,4
					0,3	0,8	0,2
					0,2	0,9	0,8
					0,7	0,6	0,5
					0,8	0,4	0,7
					0,6	0,9	0,3
					0,5	0,7	0,8
					0,4	0,5	0,8
					0,7	0,3	0,4
					0,6	0,5	0,5
					0,8	0,3	0,5
					0,5	0,6	0,9

Продолжение данных:

№ в.	задача 3	задачи 4.1	4.2	4.3
m1 m2	n1 n2	r1 r2	p	N n	n1 n2	p	N n	p
				0,63			0,002		0,02
				0,57			0,001		0,01
				0,46			0,003		0,03
				0,55			0,004		0,04
		1 3		0,67			0,001		0,01
				0,46			0,003		0,03
				0,68			0,002		0,02
				0,56			0,005		0,05
				0,81			0,005		0,05
				0,72			0,001		0,01
				0,65			0,007		0,07
				0,36			0,002		0,02
				0,55			0,003		0,03
				0,48			0,004		0,04
				0,74			0,006		0,06
				0,68			0,002		0,02
				0,72			0,003		0,03
				0,84			0,001		0,01
				0,91			0,008		0,08
				0,73			0,005		0,05
				0,55			0,002		0,04
				0,48			0,003		0,03
				0,66			0,004		0,05
				0,75			0,002		0,1
				0,84			0,006		0,15

Указания к выполнению домашнего задания 1

Задача 1. Вычислить вероятность событий, используя классическое определение вероятности и формулы комбинаторики:

Инвестор формирует пакет из R акций. В его распоряжении имеются N акций нефтяной компании , M акций банков и K акций телекоммуникационной компании. Найти вероятности следующих событий:

а) А={инвестор сформировал пакет из n акций нефтяной компании, m акций банков и k акций телекоммуникационной компании}.

По формуле , где - число исходов, благоприятствующих событию А, - общее число исходов. Для вычисления этих значений используем число сочетаний:

, .

б) В={в пакете, сформированном инвестором, имеется хотя бы одна акция нефтяной компании}.

Перейдём к событию ={в пакете, сформированном инвестором, не ни одной акции нефтяной компании}.

, где , .

Искомая вероятность равна .

Задача 2. Вычислить вероятности событий, используя основные теоремы теории вероятностей (сложения, умножения):

Три брокера играют на бирже. Предполагается, что вероятности событий «провести торги с прибылью за текущий период» для брокеров равны , и . Какова вероятность того, что за текущий период:

а) А={все три брокера проведут торги с прибылью}.

Введём следующие обозначения:

={брокер с номером i проведёт торги с прибылью}, тогда и ,

События независимы, значит по теореме умножения вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий: .

б) B={хотя бы один из трёх брокеров проведёт торги с прибылью}.

Перейдём к событию ={ни один из трёх брокеров не проведёт торги с прибылью}, тогда , где событие ={брокер с номером i не проведёт торги с прибылью} и . В силу независимости этих событий имеем . Искомая вероятность равна .

в) C={один брокер проведёт торги с прибылью, а два других – без прибыли}.

Это событие можно представить в виде суммы попарно трёх несовместных событий:

.

По теореме сложения для несовместных событий имеем:

.

В силу независимости вышеуказанных событий это равенство можно продолжить следующим образом:

,

Подставляя исходные данные, получим искомую вероятность.

Задача 3. Вычислить вероятности событий, применяя формулы полной вероятности или Байеса:

Имеется три одинаковые коробки с коллекционными монетами. В первой коробке m₁ российских и m₂ канадских монет, во второй – n₁ российских и n₂ канадских, в третьей – r₁российских и r₂ канадских. Наудачу выбирается коробка, и из нее вынимают две монеты.

а) Найти вероятность, что они разные (российские и канадские).

Введём следующие обозначения:

В={монеты разные}, ={наудачу выбрана i коробка}.

Вероятность , так как было 3 коробки.

Найдём условные вероятности по классическому определению, используя число сочетаний:

, , .

Искомая вероятность по формуле полной вероятности равна .

б) Они оказались разными. Из какой коробки вероятнее всего они были извлечены?

На вопрос задачи можно ответить, вычислив три вероятности по формуле Байеса , и выбрать наибольшую из них.

Задача 4. Вычислить вероятности событий по формулам Бернулли или Пуассона:

1. Вероятность того, что некий студент может сдать экзамен сессии на отлично равна p. В сессию он должен сдать Nэкзаменов. Найти вероятности того, что студент сдаст на отлично:

а) А={n экзаменов}.

По формуле Бернулли имеем: = , где .

б) B={от n₁ до n₂экзамена}.

Событие В представляет собой сумму несовместных событий , где , следовательно,

в) C={хотя бы один экзамен}.

Введём обозначение ={ни одного экзамена студент на отлично не сдал}, тогда . Искомую вероятность найдём по формуле .

г) найти наиболее вероятное число экзаменов, сданных на отлично, и его вероятность.

Обозначим наиболее вероятное число , его можно найти их двойного неравенства и, применив формулу Бернулли, определить .

2. Вероятность изготовления бракованной детали равна p. Определить вероятность того, что из N деталей число бракованных составит:

а) А={n деталей}.

По формуле Пуассона , где a=Np.

б) B={хотя бы две}.

Перейдём к событию ={число бракованных изделий менее двух}, тогда - это сумма двух несовместных событий, а его вероятность - это сумма вероятностей, каждую из которых можно определить по формуле Пуассона: . Искомая вероятность равна .

3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна р. Сколько нужно купить лотерейных билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью P, не меньшей, чем 0,9?

Введём следующие обозначения

={i-ый билет выигрышный}, тогда ;

={i-ый билет невыигрышный}, тогда ;

N – число лотерейных билетов;

А={хотя бы один билет выигрышный};

={ни один билет не выигрышный}.

Событие представляет собой произведение независимых событий , и по теореме умножения его вероятность равна .

По условию задачи должно выполняться неравенство: , следовательно, число купленных лотерейных билетов можно найти, решив неравенство: