Энергия затухающих колебаний

Эта энергия складывается из потенциальной и кинетической: Ε = kx²/2 + т /2. После подстановки сюда выражений x(t)и (t), соответствующих затухающими колебаниям (3.3), получим зависимость E(t), которая графически показана на рис. 3.2. Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопротивления. Мощность этой силы равна – r · = – r ,тогда dE/dt = – r .

Таким образом, dE/dt < 0, кроме тех моментов, когда = 0. При малом затухании (β << ω₀) зависимость E(t)становится практически экспоненциальной:

, (3.6)

Отсюда убыль энергии в единицу времени

– dE/dt = 2βE. (3.7)

Характеристики затухания

Кроме коэффициента β затухание характеризуют и другими величинами:

1. Время релаксации τ — это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из выражения а = а₀е^-βt вид­но, что

τ = 1/β. (3.8)

Интервал времени τназывают также постояннойвремениосциллятора. Это оценка времени, в течение которого продолжается процесс свободных колебаний осциллятора, выведенного из положения равновесия. Разумеется, по истечении времени τколебания продолжаются, но амплитуда, спадая по экспоненциальному закону, становится столь малой, что практически можно полагать, что колебания прекратились (скажем, через промежуток времени 5/βамплитуда падает более чем в 100 раз).

2. Логарифмический декремент затухания. Его определяют как

, (3.9)

где Т — период затухающих колебаний. λ показывает, на сколько изменяется амплитуда колебаний за 1 период. Например, при λ = 0,01 амплитуда ко­лебаний изменяется за 1 период приблизительно на 1%. Из предыдущих двух формул следует, что

λ = 1/ N_e, (3.10)

где N_e — число колебаний за время τ, в течение которого амп­литуда уменьшается в е раз.

При малом затухании (β << ω₀) λ характеризует относитель­ное уменьшение амплитуды колебаний за период. Это следует из (3.9), поскольку в этом случае

, (3.11)

Кроме того, при β << ω₀ относительное уменьшение энергии колебаний за период, согласно (3.7), равно δЕ/Е = 2βΤ = 2λ, откуда

λ = δЕ/2Е. (3.12)

3. Добротность осциллятора. По определению,

Q = π / λ = π N_e. (3.13)

Эту величину применяют для характеристики чувствительности колебательной системы к резонансным воздействиям.

При малом затухании (β << ω₀), когда справедливо (3.12),

Q ≈ 2πΕ / δΕ. (3.14)

В заключение отметим, что анализ формулы (3.4) приводит к выводу: затухающие колебания возможны при условии β < ω₀ , а при достаточно большом затуха­нии (β ≥ ω₀) система совершает апериодическое движение: выведенная из положения равновесия, она возвращается в это поло­жение, не совершая колебаний.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом

1. С помощью крепежного винта подвесьте пружину вертикально к горизонтальному стержню. К пружине уже прикреплен небольшой груз. Получившаяся конструкция представляет собой пружинный маятник.

2. На стенде напротив пружины установите линейку – она понадобится для определения удлинений пружины в ходе работы. Зафиксируйте координату нижней плоскости груза в положении равновесия – от этой точки далее будет производиться отсчет координаты x.

3. Произведите последовательно измерения координаты x относительно начального положения для пяти различных масс.

4. Считая условием равновесия mg = kx, постройте график зависимости mg(x) (значение ускорения свободного падения g принимайте равным 9.81 м/с² без погрешности). Если деформации пружины упругие, т. е. после прекращения действия силы пружина восстанавливает первоначальные геометрические параметры (на практике это условие выполняется при малых удлинениях пружины), то закон Гука справедлив (k = const) и график будет линейным. Тангенс угла наклона полученной прямой дает среднее значение коэффициента жесткости k. Для произвольной точки прямой .

5. Погрешностью отдельного прямого измерения величин, отложенных на осях, считают отклонение экспериментального значения рассматриваемой величины от значения, даваемого графиком. Установив таким образом относительные погрешности всех отдельных прямых измерений m и x, усредните их по пяти измерениям. Значит, погрешность k будет определяться выражениями , .

6. Данные желательно упорядочить в виде таблицы:

№ измерения	m, г	εm		x, мм	εx		, н/м	εk, %	Δk, н/м

7. Представьте конечный результат: , .

Задание 2. Определение коэффициента жесткости пружины динамическим методом

1. Для пяти различных масс найдите время t двадцати полных колебаний. Груз от положения равновесия необходимо отклонять строго вертикально, растягивая пружину не более, чем на 20 мм.

2. В этом задании затуханием колебаний необходимо пренебречь. Вычислите период T по формуле: T = t / n, где n = 20 – число колебаний.

3. Т. к. , то . Ввиду того, что , график зависимости T²(m) должен быть линейным. Постройте его. По углу наклона прямой = 4π² ctg α.

4. Аналогично предыдущему заданию с помощью графика установите относительные погрешности всех отдельных прямых измерений m и T² и усредните их по пяти измерениям. Значит, погрешность k будет определяться выражениями , .

5. Данные занесите в таблицу:

№ измерения

m, г

εm

t, с

n

T, с

T2, с2

, н/м

εk, %

Δk, н/м

6. Представьте конечный результат: , .

Задание 3. Определение характеристик затухания

1. Отклоните строго вертикально груз определенной массы m от положения равновесия, растягивая пружину на а₀ = 27 мм. Зафиксируйте положение амплитуды, меньшей в е раз: а ≈ 10 мм.

2. Отпустите пружину, включив секундомер, и считайте колебания до тех пор, пока нижняя плоскость груза не перестанет пересекать отметку, сигнализирующую об уменьшении амплитуды в е раз. По достижении упомянутого момента выключите секундомер, зафиксировав время t и число N_еколебаний.

3. Повторите опыт еще 2 раза и занесите экспериментальные данные в таблицу:

№ опыта	а0, мм	а, мм	t, с	Nе	T, с

4. Оцените абсолютные и относительные погрешности а₀, а, t, T.

5. Рассчитайте значения λ (3.10), β (3.9), τ (3.8), Q (3.13) и оцените погрешности этих величин.

6. Данные, полученные в п. 4, п. 5 представьте в виде таблицы. Вид таблицы выберите самостоятельно.

7. Представьте окончательные результаты:

, ;

, ;

, ;

, .