Теоретические основы работы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

Лабораторная работа М10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА

Выполнил: Елисеев Д. А.

Группа: 3ИНТ-2ДБ-034

Проверяющий: Ручинский В.С

г. Москва, 2016

Цель работы

Экспериментальное определение момента инерции системы^*, состоящей из массивного маховика, двух шкивов, насаженных на общий вал.

Теоретические основы работы

В механике под твердым телом, или абсолютно твердым телом, понимают неизменную систему материальных точек, т. е. такую абстрактную (идеализированную) систему, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками остаются неизменными, постоянными.

Любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность простых движений: поступательного и вращательного.

При поступательном движении все точки твердого тела совершают одинаковые перемещения, т. е. в этом случае любая прямая, проведенная в твердом теле, остается при движении параллельной самой себе.

Мерой инертности (инерции)^** твердого тела при поступательном движении является масса тела.

При вращательном движении твердого тела как вокруг неподвижной оси, так и вокруг точки, инертные свойства тела определяются моментом инерции.

Следует подчеркнуть, что тело имеет момент инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или покоится по аналогии с тем, что любое тело имеет массу независимо от того, движется оно или находится в покое.

В механике различают осевые и центробежные моменты инерции твердого тела, но в курсе общей физики изучается только момент инерции твердого тела относительно оси, что является целью данной лабораторной работы.

_______

^*Так как масса (и размеры) массивного маховика значительно больше суммарной массы шкивов и вала, то фразу «момент инерции системы» следует понимать буквально как момент инерции маховика.

^**Свойство тела оказывать сопротивление при попытках вывести его из состояния покоя или изменить его скорость (по модулю или направлению), называется инертностью.

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме произведений элементарных масс тела на квадраты их расстояний до этой оси, т. е.

. (1)

В системе «СИ» момент инерции имеет размерность (кг×м²).

Момент инерции относительно данной оси зависит не только от величины массы тела, но и от распределения масс относительно оси. Изменения расстояний частиц тела относительно оси приводят к различным значениям момента инерции тела относительно этой же оси.

Момент инерции твердого тела, как и масса тела, является величиной аддитивной.

Суммирование в формуле (1) может быть заменено интегрированием:

, (2)

где - плотность тела в точке, в которой взят элементарный объем dV;

r - расстояние объема dV от оси вращения.

Если твердое тело однородно, т. е. во всех его точках плотность r = const, то выражение (2) принимает вид:

. (3)

Вычисление момента инерции реальных твердых тел (произвольной конфигурации) по формулам (2, 3) представляет собой весьма сложную проблему, и на практике моменты инерции этих тел определяют экспериментальным путем.

Что касается однородных осесимметричных тел (цилиндра, конуса, шара и т. д.), то вычисление интеграла (3) значительно упрощается.

Учитывая, что в предлагаемой лабораторной работе вал, маховик, шкивы представляют собой цилиндры (диски), то приведем пример вычисления момента инерции однородного цилиндра (диска) относительно его оси симметрии (геометрической оси) ОО₁ (рис. 30).

Мысленно разобьем цилиндр (диск) радиуса R и высотой h на концентрические слои толщиной dr, радиус которого равен r.

Масса вещества, заключенного в этом слое, равна

, (4)

где - плотность вещества цилиндра.

Момент инерции этого слоя относительно оси вращения ОО₁ равен

. (5)

Согласно (2) или (3) момент инерции всего цилиндра (диска) относительно оси ОО₁ равен

. (6)

Учитывая, что масса всего цилиндра (диска)

,

выражение (6) принимает окончательный вид:

(7)

Итак, момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси симметрии равен его массе, умноженной на половину квадрата его радиуса.

Существует ряд методов (метод вращения и метод колебаний) экспериментального определения момента инерции твердого тела произвольной формы или системы, состоящей из нескольких тел, относительно оси вращения.

В данной лабораторной работе предлагается экспериментальное определение момента инерции системы, состоящей из однородных цилиндров (дисков) методом вращения.