Краткие указания к выполнению задания

7.2.1. Прежде, чем приступить к выполнению задания, необходимо проработать соответствующие разделы лекций и рекомендуемой литературы [1 – 4].

7.2.2. Установить число степеней свободы механической системы и назначить обобщенные координаты.

7.2.3. Записать уравнения Лагранжа второго рода в соответствии с назначенными обобщенными координатами.

7.2.4. Записать выражение кинетической энергии системы, как сумму кинетических энергий тела D и материальной точки М.

7.2.5. Представить кинетическую энергию системы как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей.

7.2.6. Изобразить активные силы, нагружающие систему.

7.2.7. Для определения обобщенных сил, соответствующих назначенным обобщенным координатам, сообщить системе возможные перемещения.

7.2.8. Записать выражения элементарных работ активных сил на этих возможных перемещениях и определить обобщенные силы.

7.2.9. Найти частные производные от кинетической энергии по обобщенным скоростям, а затем вычислить их обыкновенные производные по времени.

7.2.10. Определить частные производные от кинетической энергии по обобщенным координатам.

7.2.11. Полученные в п.п. 7.2.8 – 7.2.10 выражения подставить в уравнения Лагранжа второго рода.

7.2.12. Записать в окончательном виде дифференциальные уравнения движения механической системы с учетом заданных числовых значений параметров.

Таблица 7.1

Варианты числовых значений параметров задания №6

№ Вар.	№ Подвар.	, кг	кг	a, м	b, м	R, м	, град	Hм	H
1.					1,5	1,2	-
2.				-	-
	-29,2t
3.					-	-	-
4.				-	-
	-210

Продолжение табл.7.1

№ Вар.	№ Подвар.	, кг	кг	a, м	b, м	R, м	, град	Hм	H
5.					1,5	-	-
	688t
	75t3
	15t2-10t3
6.				1,5	-	2,5	-
7.				1,6		0,8	-
8.				1,2	-		-

Продолжение табл.7.1

№ Вар.	№ Подвар.	, кг	кг	a, м	b, м	R, м	, град	Hм	H
9.				1,2	-	0,4
10.					Ö2	-	-
	-210
11.					-	-
	-29,2t
12.					-		-

Продолжение табл.7.1

№ Вар.	№ Подвар.	, кг	кг	a, м	b, м	R, м	, град	Hм	H
13.					-	-	-
14.				-	-		-
	-29,2t
15.					-		-
16.					1,2	-		75t3
	15t2-10t3
	688t

Продолжение табл.7.1

№ Вар.	№ Подвар.	, кг	кг	a, м	b, м	R, м	, град	Hм	H
17.				-	-	1,6
18.						0,8	-
	-29,2t
19.				1,5	-	-	-
20.					-	1,2	-
	-210

Продолжение табл.7.1

№ Вар.	№ Подвар.	, кг	кг	a, м	b, м	R, м	, град	Hм	H
21.				-	-		-
22.				1,6	1,2	0,6	-
	-210
23.				Ö2		-	-
	-29,2t
24.				0,6	-	-

Продолжение табл.7.1

№ Вар.	№ Подвар.	, кг	кг	a, м	b, м	R, м	, град	Hм	H
25.				-	-	0,5	-
	688t
	75t3
	15t2-10t3
26.				1,5	-		-
27.				0,6	-	0,6	-
28.				1,6	1,2	-	-

Окончание табл.7.1

№ Вар.	№ Подвар.	, кг	кг	a, м	b, м	R, м	, град	Hм	H
29.					-	-	-
30.						-	-
	-210

Рис. 7.1
Продолжение рис. 7.1
Продолжение рис. 7.1
Продолжение рис. 7.1

Окончание рис. 7.1

Пример выполнения задания

7.3.1. Условие примера

Изучается движение механической системы, представленной на рис. 7.2. Даны следующие значения параметров: Нм, Н, кг, кг, м, м, м.

73.2. Решение примера

Рассматриваемая механическая система имеет две степени свободы (n=2). В качестве обобщенных координат назначим угол поворота пластины вокруг вертикальной оси и центральный угол , определяющий положение материальной точки на круговом желобе (рис. 7.3).

Уравнения Лагранжа второго рода для данной механической системы могут быть представлены в виде:

,

(7.1)

.

Здесь - кинетическая энергия системы, и - обобщенные силы, соответствующие назначенным обобщенным координатам.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии пластины и материальной точки :

Пластина совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси , поэтому:

.

Момент инерции пластины относительно оси определяем по теореме Штейнера.

Имеем

.

Таким образом,

.

Кинетическая энергия материальной точки равна

,

где - абсолютная скорость точки .

По теореме о сложении скоростей

.

Величина относительной скорости точки

. (7.2)

Переносная скорость точки

. (7.3)

Векторы и изображены на рис.7.3. Очевидно, что:

, и .

Квадрат модуля абсолютной скорости точки вычисляется по формуле

Тогда с учетом равенств (7.2) и (7.3), получаем

.

Кинетическая энергия точки

.

Окончательное выражение кинетической энергии системы

(7.4)

Для определения обобщенных сил и сообщаем системе возможные перемещения.

Первое возможное перемещение:

Сумма работ активных сил на этом возможном перемещении равна

.

Тогда

. (7.5)

Второе возможное перемещение:

В этом случае сумма работ активных сил запишется

.

Следовательно,

. (7.6)

Вычисляем частные производные от функции (7.4) кинетической энергии по обобщенным скоростям:

, (7.7)

(7.8)

Далее находим обыкновенные производные по времени от полученных выражений (7.7) и (7.8):

(7.9)

(7.10)

Затем вычисляем частные производные от кинетической энергии (7.4) по обобщенным координатам:

, (7.11)

Подставляя равенства (7.5),(7.6),(7.9)--(7.11) в уравнения (7.1), получаем:

С учетом числовых значений исходных данных дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы примут вид:

,

.