Изучение законов сохранения импульса и энергии при ударе

Цель работы: ознакомиться с явлением удара; проверить закон сохранения импульса и потери механической энергии на примере соударения подвешенных шаров различной массы.

Удар - это совокупность явлений, возникающих при кратковременном столкновений двух тел, в результате которого происходит значительное изменение скорости тел за короткий промежуток времени.

Рассмотрим результат соударения двух стальных шаров, подвешенных на нитях длиной l .

Если отклонить шар массой m₁ на угол a₀ и отпустить, то он, ударившись упруго о неподвижный шар массой m₂, передаст ему часть своей энергии и импульса (рис. 1). После удара шары отклонятся на углы a₁ и a₂, а их центры масс при этом поднимутся на высоты h₁ и h₂ по отношению к линии удара, т. е. кинетические энергии шаров, приобретенные ими после удара, перейдут в потенциальные.

Из закона сохранения энергии и рис.1 следует:

, (1)

, (2)

где U₁ и U₂ - скорость шаров после удара.

В соответствии с законом сохранения импульса в проекциях на ось Х при условии, что m₁ > m₂ :

m₁V₁ = m₁U₁ + m₂U₂ , (3)

где V₁ - скорость 1-го шара до удара.

При малых углах отклонения (a < 10°) Sina » a(рад). Поэтому из (1) и (2) следует:

, (4)

. (5)

Скорость V₁ определяется подобным образом:

. (6)

Из (3) следует:

U₂ = m₁/m₂ (V₁ - U₁). (7)

Подставив (4) - (6) в (7), получим :

a₂ = m₁/m₂ (a₀ - a₁). (8)

a₀, a₁ и a₂ могут быть выражены как в радианах, так и в градусах.

Закон сохранения импульса (3) устанавливает линейную зависимость между скоростями U₂ и (V₁ - U₁), а в силу линейной связи между этими скоростями и соответствующими углами, согласно (4) - (6) -линейную зависимость между углами a₂ и (a₀ - a₁).

Поэтому, если график зависимости (8) a₂ от (a₀ - a₁) в пределах погрешности измерений является отрезком прямой, то это свидетельствует о выполнении закона сохранения импульса.

Реальные материалы - сталь, керамика, резина и др., - не являются, строго говоря, абсолютно упругими. Это означает, что при столкновении двух шаров в проводимых опытах закон сохранения механической энергии не выполняется: часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию деформируемых тел (тела при этом нагреваются). Поэтому закон сохранения полной энергии запишется в виде:

, (9)

где - кинетическая энергия первого шара до удара; - кинетическая энергия второго шара после удара; а Q - та часть энергии, которая перешла во внутреннюю энергию этих шаров после удара.

Удобно (9) переписать так:

. (10)

Заменяя выражение в первой скобке ее значением m₂×U₂ согласно (3), получим:

V₁ + U₁ = U₂ + 2×Q/(m₂×U₂). (11)

Безразмерную величину

(12)

называют коэффициентом восстановления скорости. Он характеризует меру упругости тел при их взаимодействии.

При абсолютно упругом ударе Q = 0 и К = 1. При абсолютно неупругом ударе оба тела движутся после удара с одинаковой скоростью V = U₁ = U₂. В этом случае, как видно из (12), К=0, а величина потерь механической энергии при фиксированных значениях m₁, m₂ и V₁ максимальна: Q = m₂×V₁×U₂/2.

Из (12) и (4) - (6) следует, что

a₂ - a₁ = К×a₀. (13)

И опять-таки, если закон сохранения импульса и в том случае, когда имеются потери механической энергии верен, то в пределах погрешности измерений график зависимости (a₂ - a₁) от a₀ должен представлять собой отрезок прямой, а тангенс угла наклона определять значение К.

Величина определяет долю потерь механической энергии при ударе шаров.

Подставляя в (12) и учитывая (5) и (6), получим:

. (14)

В силу линейной зависимости a₂ от a₀ по тангенсу угла наклона отрезка прямой этой зависимости можно определить долю потерь механической энергии d.