Методика розв’язання задач. 1. Визначаємо склад механічної системи

1. Визначаємо склад механічної системи. Якщо всі складові системи знаходяться у стані спокою, то її початкова кінетична енергія дорівнює нулю.

2. Для довільного моменту часу записуємо вирази для кінетичної енергії кожного тіла (4.3), (4.4) чи (4.5) в залежності від його характеру руху.

3. Знаходимо кінематичні співвідношення між лінійними та кутовими характеристиками руху окремих тіл і записуємо вираз для сумарної кінетичної енергії через швидкість тіла для якого задане переміщення .

4. Для кожного з тіл записуємо вирази для роботи зовнішніх сил, що на нього діють (4.9) – (4.14), беручі до уваги те, що переміщення тіл зв’язані між собою. Переміщення та кути повороту тіл знаходимо шляхом інтегрування рівнянь, які зв’язують швидкості тіл, з врахуванням початкових умов.

5. Знаходимо переміщення тіл системи через .

6. Записуємо вираз для суми робіт зовнішніх сил та обчислюємо її. Якщо отримаємо від’ємну величину, то необхідно змінити напрям руху тіл – дивись приклад 1.

7. Прирівнюємо вираз, отриманий в п. 3 до виразу, отриманого п. 6 та . знаходимо швидкість як функцію переміщення користуючись теоремою про зміну кінетичної енергії системи.

8. Прискорення тіла знаходимо, взявши похідну за часом від рівняння, яке зв’язує та .

Рис. 4.2

Приклад 1. Механічна система (рис. 4.2) починає рухатись зі стану спокою під дією сил тяжіння. Знайти швидкість та прискорення тіла 1 на момент часу, коли воно пройде шлях , користуючись теоремою про зміну кінетичної енергії. Тертям на осі блоку 2 нехтувати, мотузки, що з’єднують тіла системи вважати невагомими та нерозтяжними. Розв’язати задачу, вважаючи відомими, маси тіл , , та , розміри , та , моменти інерції та , коефіцієнт тертя ковзання та кут нахилу похилої площини з горизонтом.

Розв’язання. Будемо вважати, що тіло 1 починає рух у по похилій площині догори і на момент, коли воно пройде шлях , набуває швидкості . Дійсний напрям руху тіла 1 знайдемо, розв’язавши задачу.

Згідно з теоремою про зміну кінетичної енергії

, (1)

де - кінетична енергія системи на заданий момент часу, - початкова кінетична енергія системи. Ця зміна дорівнює роботі зовнішніх сил , бо вважаємо, що тіла системи та в’язі між ними не деформуються.

Оскільки в початковому стані система нерухома, то , тоді

. (2)

Тіло 2 в цей момент часу буде обертатися за напрямом руху стрілки годинника з кутовою швидкістю , тіло 3 буде здійснювати плоскопаралельний рух, обертаючись проти руху стрілки годинника з кутовою швидкістю , а його центр (вісь обертання блоку) буде рухатись вниз зі швидкістю . Тіло 4 буде рухатись теж вниз і, оскільки воно прикріплено до осі блоку 3, його лінійна швидкість (рис. 4.2).

Запишемо вираз для кінетичної енергії системи на момент часу, коли тіло 1, пройде шлях , як суму кінетичних енергій її складових

, (3)

в якому

, (4)

, (5)

, (6)

. (7)

Рис. 4.3

Щоб знайти кінетичну енергію системи як функцію швидкості першого тіла, проведемо кінематичний аналіз механізму і встановимо зв’язок між лінійними та кутовими характеристиками руху різних елементів механічної системи (4.3).

Мотузка, що з’єднує тіло 1 з блоком 2 нерозтяжна, тому . Оскільки точка А знаходиться на зовнішній поверхні блоку, знаходимо кутову швидкість тіла 2

, (8)

та швидкість точки В на внутрішній поверхні блоку

. (9)

Щоб знайти лінійну швидкість центру третього тіла та його кутову швидкість , скористуємось тим, що тіло 3 здійснює плоскопаралельний рух і має миттєвий центр швидкості (МЦШ), який знаходиться в точці дотику тіла 3 до нерухомої мотузки. Тоді

, (10)

звідки, беручі до уваги (9), отримаємо вираз для як функції від

. (11)

Швидкість центра блока 3 (одночасно і швидкість тіла 4) отримаємо із співвідношення

. (12)

Підставимо (8), (11) та (12) в рівняння (5) – (7) і знайдемо вираз для кінетичної енергії системи у заданий момент часу

. (13)

Знайдемо роботу зовнішніх сил як суму робіт по переміщенню елементів системи

. (14)

В нашому випадку зовнішніми силами є сили тяжіння: , , , , реакції опор , , реакції опори у точці закріплення мотузки, та тертя ковзання .

Реакція у точці роботи не здійснює, оскільки ця точка нерухома, отож = 0.

Оскільки сила опору перпендикулярна переміщенню , її робота дорівнює нулю. Сила тертя протилежна переміщенню і її робота від’ємна

. (15)

Складова сили тяжіння вздовж вектора переміщення дорівнює , і, оскільки ці вектори протилежні за напрямом, робота сил тяжіння для переміщення першого тіла теж від’ємна

. (16)

Оскільки друге тіло не змінює свого положення внаслідок дії зовнішніх сил та , то робота цих сил дорівнює нулю.

Центри мас третього та четвертого тіл зміщуються вертикально вниз під дією сил та відповідно, отож:

, (17)

. (18)

Очевидно, що в нашому випадку , а зв’язок з знайдемо з кінематичного аналізу механізму. Вище ми показали (11), що . Оскільки, за визначенням, , то, інтегруючи (11) з врахуванням нульових початкових умов, отримаємо

. (19)

Підставимо (19) в (17) - (18) та знаходимо роботу зовнішніх сил через переміщенням

. (20)

Підставляючи (13) та (20) в (2), отримуємо

=

= ,

звідки знайдемо вираз, який визначає швидкість тіла 1

. (21)

Якщо в чисельнику отримуємо від’ємне число, то це свідчить про те, що ми не вгадали напрям руху першого тіла.

Тоді, щоб отримати відповідь, потрібно змінити напрями поступального руху тіл 1, 3, 4 та обертального руху тіл 2 та 3. При цьому у формулах (15) – (17) необхідно внести відповідні зміни щодо роботи сил тяжіння. Це приведе до наступних змін у кінцевій формулі (20): в чисельнику зміняться знаки при масах тіл 1, 3 та 4, але не зміниться знак при коефіцієнті тертя , бо сила тертя ковзання завжди напрямлена проти напряму руху тіла, тоді отримуємо

= . (22)

Якщо і цьому випадку знову отримуємо , то система зберігає стан спокою за рахунок дії сили тертя ковзання.

Прискорення першого тіла знайдемо, взявши похідну за часом від (21) чи (22)

,

звідки

.

Відповідь: ,

.

Рис. 4.4

Приклад 2. Механічна система (рис. 4.4) складається з однорідного циліндра 1, тіла 3 та блоку 2 (великий радіус = 15 см, малий = 10 см, = 0,05 кг×м²), який встановлений на призмі. Під дією сили тяжіння зі стану спокою тіла системи приходять у рух. Циліндр 1 ( = 3 кг, = 5 см) котиться без ковзання по похилій площині, яка нахилена під кутом = 30° до горизонту, а коефіцієнт тертя кочення = 0,02 см. Тіло 3 масою = 5,5 кг ковзає по іншій похилій площині, яка утворює кут = 45° з горизонтом, коефіцієнт тертя ковзання = 0,15.

Знайти швидкість тіла 1 та його прискорення, якщо центр циліндру 1 переміститься відносно похилої площини на відстань = 1,2 м. Тертям у блоці тіла 2 нехтувати, мотузки, що з’єднують тіла системи вважати невагомими та нерозтяжними. В процесі руху мотузки залишаються паралельними відповідним похилим площинам призми.

Розв’язання. Для нашої системи, що складається з твердих тіл, які зв’язані нерозтяжними мотузками, роботи внутрішніх сил дорівнює нулю

. (1)

В початковому положенні усі тіла механічної системи знаходимо в стані спокою, тому

. (2)

Кінетична енергія системи в заданий момент часу складається з трьох доданків

. (3)

Для того, щоб її визначити, розглянемо рух окремих елементів системи.

Будемо вважати, що циліндр 1 рухається вгору (рис. 4.4) по похилій площині (істинний напрям руху тіла 1 знайдемо, розв’язавши задачу). Оскільки він здійснює плоский рух, то

, (4)

Рис. 4.5

де та – швидкість центра маси циліндра та його кутова швидкість обертання – момент інерції циліндра відносно його осі.

Блок 2 здійснює обертальний рух, тому

, (5)

де та – момент інерції та кутова швидкість блоку 2.

Тіло 3 здійснює поступальний рух, тому його кінетичну енергію знаходимо за формулою

. (6)

Отже для кінетичної енергії системи отримуємо

. (7)

Встановлюємо співвідношення між лінійними та кутовими швидкостями тіл системи. Циліндр котиться на похилій площині без ковзання, тому точка дотику є миттєвим центром швидкості цього тіла, отже

.

Момент інерції однорідного циліндра відносно його осі . Тоді

. (8)

Для визначення кутової швидкості обертання блоку 2 скористаємося тим, що лінійна швидкість точки С зовнішньої поверхні блоку співпадає з лінійною швидкістю точка В тіла 1 (рис. 4.5), тобто , звідки отримуємо

,

що дозволяє зв’язати та

, (9)

та записати вираз для кінетичної енергії тіла 2

. (10)

Для визначення величини скористаємося тим, що лінійна швидкість точки (рис. 4.5), яка знаходиться на відстані від осі обертання блоку 2 співпадає з лінійною швидкістю тіла 3, тобто

. (11)

Підставляючи (9) в (11) отримуємо зв’язок між та

(12)

і для кінетичної енергії тіла 3 отримуємо

. (13)

Таким чином вираз для кінетичної енергії системи набуває вигляду

. (14)

Розглянемо роботу сил, які прикладені до системи.

Оскільки ми вважали, що тіло 1 рухається вгору по похилій площині, то робота сили тяжіння при переміщенні буде

. (15)

Роботу, яку виконують сили тертя кочення знаходимо з виразу

, (16)

де – кут повороту (в радіанах) тіла 1, який зв’язаний з переміщенням тіла 1 співвідношенням

Рис. 4.6

. (17)

Робота реакції опори дорівнює нулю, оскільки . Робота сили зчеплення (вона забезпечує кочення тіла без ковзання) дорівнює нулю, бо сила прикладена до нерухомої в кожний момент точки тіла (МЦШ) – точки його дотику до похилої площини (рис. 4.6).

Остаточно для роботи зовнішніх сил по переміщенню тіла 1 отримуємо

= .

Для тіла 2 роботи сил тяжіння та реакції опори дорівнюють нулю, оскільки центр маси тіла 2 не переміщується.

Тіло 3 опускається по інший похилій площини. Тоді робота сили тяжіння

.

Робота сили тертя ковзання

.

Робота реакції опори дорівнює нулю, оскільки .

Тому для роботи зовнішніх сил по переміщенню тіла 3 отримуємо

.

Оскільки , то остаточно маємо

. (18)

Зв’язок між переміщення тіл 1 та 3 знайдемо за допомогою співвідношень (12) між швидкостями. Інтегруючи праву та ліву частину (12) з врахуванням нульових початкових умов, отримуємо

. (19)

Тоді для сумарної роботи зовнішніх сил при переміщенні тіл механічної системи маємо

. (20)

Прирівнюючи кінетичну енергію (14) до роботи зовнішніх сил (20) отримуємо зв’язок між цими величинами

(21)

звідки знаходимо зв’язок між швидкістю першого тіла та його переміщенням

, (22)

в якому

.

Для знаходження прискорення тіла 1 беремо похідну за часом від обох частин рівняння (22)

,

звідки, беручи до уваги, що , а , отримуємо

,

отже

.

Підставляючи дані задачі, знаходимо:

= 1,72 м/с та = 1,24 м/с².

Відповідь: = 1,72 м/с та = 1,24 м/с².