Манипулятордың кинематикасы.

Жоғарыда айтылғандай, кинематикалық қателіктердің пайда болуының негізгі себептері – нәтижесінде жылдамдықтар мен үдеулердің жалпыланған координаталарының іс жүзіндегі мәндері программалық мәндерден ерекшеленетін, жетек қозғалтқыштарымен өтеу кезінде кинематикалық сипаттамалардың ауытқуы болып табылады.

Төменде жалпыланған координаталар мәндерінің программалық мәндерінен ауытқуларының кинематикалық қателіктерге әсері қарастырылады. Жалпыланған координаталардың программалық мәндері болып кинематиканың кері есебін шешу нәтижесінде алынған жалпыланған координаталардың мәні түсіндіріледі.

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

15-сурет. Қателікті анықтаудың есептік сұлбасы

Программалық қозғалыстарды орындау кезінде манипулятордың шығыс буыны (ұстағыш) әрбір уақыт моментінде кеңістікте анықталған орынға иеленуі тиіс. Кеңістіктегі еркін дененің орны сияқты ұстағыштың орны қандай-да бір нүктенің координаталарымен (ұстағыш центрі) және ұстағыш осінің бағытымен анықталады. Бірақ, жалпыланған координаталардың программалық мәні qp олардың нақты мәндерінен qr Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (i=1,…,n) шамасына ерекшеленеді, ұстағыштың нақты орны программамен қарастырылған орыннан ерекшеленеді (15-сурет). Осы ауытқу да манипулятордың кинематикалық қателігі ретінде анықталады. Кинематикалық қателік сызықтық және бұрыштық кинематикалық қателіктерді есептеу жолымен анықталады.

Ұстағыштың программалық орны қозғалмайтын координаталар жүйесіне қатысты CPXPYpZp координаталар жүйесінің ұстағышына байланысты орнымен анықталынады. CrXrYrZr координаталар жүйесінің орнымен анықталатын ұстағыштың нақты орны программалықтан ерекшеленеді. Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru векторы манипулятордың сызықтық қателігін анықтайды. CPXPYpZp және CrXrYrZr координаталар жүйелерінің осьтері өзара параллель болатындай етіп, ұстағышты бұруға қажетті бұрыш бұрыштық қателік болып табылады. Осылай болуы мүмкін, себебі белгілі Даламбер-Эйлер теоремасының негізінде қозғалмайтын нүктесі бар (қазіргі жағдайда ұстағыштың центрі С) қатты денені Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru бұрышына осы нүктені айнала бір бұрылыспен бір орыннан екінші бір орынға ауыстыруға болады.

Манипулятордың сызықтық қателігін анықтаудың әртүрлі тәсілдерін қарастырайық.

Егер манипулятордың кинематикасының кері есебінің шешуі бар болса, онда көп айнымалы функциялардың дифференциалдарының формулаларын қолдану ыңғайлы болып табылады. Себебі, ұстағыштың орнын анықтайтын Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru векторы qi жалпыланған координаталардың функциясы болып табылады, аз шамалы сызықтық қателікті есептей отырып және дифференциалдарды ақырлы өсімшелермен ауыстырып, сызықтық қателік векторы үшін төмендегі өрнекті аламыз

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru . (3.32)

Қолдануға ыңғайлы болуы үшін (2.97) векторлық теңдікті қозғалмайтын координаталар осьтеріне проекциялары бойынша жазамыз:

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru ; Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru ; Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru .

Мұндағы Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru - сәйкесінше X0, Y0, Z0 осьтері бойынша тұрақтандыру қателігі.

Сызықтық қателік модульын төмендегі теңдіктің көмегімен есептеуге болады:

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru . (3.33)

Кинематикалық зерттеулер кезінде алынған түрлендіру матрицаларын қолдана отырып сызықтық қателікті анықтауға болады. Матрицалық түрде С нүктесінің координаталарын (15-сурет) (2.19) матрицалық теңдіктің көмегімен анықтауға болады. (2.18) ескеріп, 2.19 теңдіктен дифференциал ала отырып, төмендегі түрде жазамыз:

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru . (3.34)

Мұндағы Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru ұстағышпен байланысқан, координаталар жүйесіне қатысты ұстағыштың координаталар центрлерінен тұратын біртекті вектор-баған. Мұнда, жоғарыда көрсетілген мысалдағыдай, векторлық теңдік (3.34) координаталар осьтеріне проекцияланады. Содан соң, координаталар осьтері бойынша сызықтық қателіктер анықталынады және (3.33) теңдіктің көмегімен сызықтық қателіктің модульы есептелінеді.

Бұру матрицалары.

Өлшемі Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru бұру матрицасын евклидті кеңістікте орынды анықтайтын үш өлшемді векторды түрлендіру матрицасы ретінде анықтауға боолады, ол вектордың координаттарын Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru бұрылған (байланысқан) санақ жүйесінен Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru абсолютті санақ жүйесіне ауыстырады. 1-суретте екі оң ті бұрышты координаттар жүйесі көрсетілген. Бұл жүйелердің бастары беттескен және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru нүктесінде орналасқан.

 
 
 

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

1-сурет. Абсолютті және байланысқан координаттар жүйелері

Үш өлшемді кеңістікте Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйесі бекітілген және абсолютті деп қабылданған, ал Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесі Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru абсолютті жүйесімен салыстырғанда айналады. Физикалық түрде Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйесі байланысқан координаттар жүйесі ретінде қарастырылады. Бұл дегеніміз, ол қатты денемен қатаң бекітілген (мысалы, ұшатын аппараттармен немесе манипулятордың буынымен) және онымен бірге қозғалады. Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйелерінің остерінің бағыттарымен сәйкес бағытталған бірлік векторлар болсын. Кеңістіктің қандайда бір Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru нүктесін көрсетілген жүйелердің кез-келгенімен салыстырғанда координаттарымен сипаттауға болады. Талқылау қарапайымдау болу үшін, Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru нүктесі Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru санақ жүйесімен бекітілген және қозғалмайды деп санайық. Сонда Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru нүктесі Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйелерінде келесі сәйкес координаттарға ие болады

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru , (1.1)

мұндағы Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru векторлары сол бір нүкте, Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru нүктесінің орнын әр түрлі санақ жүйелерімен салыстырғанда сипаттайды. Вектордың немесе матрицаның белгілеуіне қосымша жоғарыда тұрған Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru индексі, транспонирования операциясын көрсетеді.

Біздің мақсатымыз, Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйесі бұрылғаннан соң Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттарын Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйесіндегі Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттарына түрлендіретін өлшемі Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru матрицасын анықтау, яғный

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.2)

Байқайтынымыз, физикалық түрде Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru нүктесі Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесімен бірге бұрылады.

Векторладың компоненттерінің анықтамасынан алатынымыз

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.3)

Мұндағы Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru , Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru остерінің бойына сәйкес Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru векторының құрашыларын көрсетеді, немесе Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru векторының осы остерге проекциялары. Сонымен, скалярлы көбейтудің анықтамасын және (1.3) теңдігін пайдалана отырып, алатынымыз

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.4)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

Немесе матрицалық түрде

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.5)

Осы өрнекті ескере отырып (1.2) теңдігідегі Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru мына түрді қабылдайды

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru . (1.6)

Сол сияқты, Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттарын Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттарынан алуға болады:

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.7)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.8)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru екенін байқайық. Ары қарай, (1.2) шығатыны

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.9)

Сонда (1.7) және (1.9) формулаларынан және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru қатынасынан шығатыны

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.10)

Байқайтынымыз, Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru мұндағы Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru өлшемі Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru бірлік матрицасы. Бұдан шығатыны,

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.11)

Одан

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru . (1.12)

(1.2) және (1.7) формулаларымен анықталатын түрлендірулер отртогональді түрлендірудеп аталады, ал скалярлы көбейтінділерге кіретін векторлар бірлік векторлар болғандықтан, оны ортонормальді түрлендіру деп те атайды.

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru матрицасы сонымен қатар бағыттаушы косинустар арқылы өрнектелуі мүмкін. Мысалы, Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru мұндағы Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru - Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru остерінің арасындағы бұрыш. Басқа символдар арқылы белгіленген Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru матрицасы келесі түрде жазылады

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru немесе (1.13)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.14)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru или (1.13)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.14)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru -дің (1.13) өрнегіндегі баған-векторлар Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесінің бірлік базалық векторларының Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесіне проекцияларын көрсетеді. Екінші жағынан, вектор қатарлар Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесінің бірлік базалық вектоларының Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесіндегі компоненттерін көрсетеді.

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйесінің Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйесімен салыстырғандағы негізгі остеріне қатысты бұрылу матрицаларын қарастырудың мәні үлкен. Егерде Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйесінің кеңістіктегі орны осы жүйенің Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru осінің бойымен Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru бұрышына бұрылуынан өзгеретін болса, онда Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйесіндегі, Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru жүйесіндегі өзгермейтін Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттары бар Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru нүктесінің Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттары өзгереді. Осыған сәйкес келетін Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru түрлендіру матрицасы Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru осі бойымен Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru бұрышына бұру матрицасыдеп аталады. Жоғарыда алынған нәтижелерге сүйеніп, Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru матрицасы үшін төмендегі теңдікті аламыз

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.15)

сонымен қатар Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru болғадықтан

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.16)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

2-сурет. Айналып тұрған координаттар жүйесі.

Сол сияқты, Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru осімен Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru осімен Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru бұрышына бұратын, үш өлшемді (өлшемі Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru ) бұру матрицалары сәйкес келесі түрлерге ие болады (2-сурет):

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.17)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.18)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru , Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru матрицалары элементарлы бұру матрицалары деп аталады. Кез-келген басқа күрделі бұру матрицаларын, элементарлы бұру матрицаларын пайдалану арқылы алуға болады.

Эйлер түрлендіруі (Эйлер бұрыштары)

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

3-сурет. Эйлер бұрыштары.

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйелерін беттестіру үшін бұруларын операцияларын жасайық (3-сурет).

1. Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесін Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru осінің бойымен Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru бұрышына (дененің өздік бұрылу бұрышы) бұрайық, сонда Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесін аламыз және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

2. Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесін Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru осі бойымен Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru бұрышына (нутация бұрышы) бұрайық, сонда Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесін аламыз және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

3. Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесін Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru осі бойымен Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru бұрышына (прецессия бұрышы) бұрайық, сонда Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru координаттар жүйесін аламыз және Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

Сонда қорытынды матрицаның нәтижесін келесі түрде жазамыз

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru

Манипулятордың кинематикасы. - student2.ru (1.19)

Наши рекомендации