Методичні рекомендації до розв’язування здач динаміки вільної матеріальної точки

Задачі динаміки вільної матеріальної точки можна звести до двох основних задач:

1.За заданим законом руху точки визначити прикладені до неї сили (пряма задача);

2.За заданими силами і початковими умовами визначити закон руху точки(обернена задача).

Найзагальнішим методом розв’язання задач динаміки матеріальної точки е метод складання і розв’язування диференціальних рівнянь її руху. Ці рівняння можна скласти декартових координатах в полярних координатах, а також в натуральній формі. Усі ці рівняння виводяться з основного рівняння динаміки матеріальної точки:

де –сила і прикладена до точки; m – маса, – прискорення точки.

Надалі зупинимося на розв’язанні задач динаміки точки у декартові системі координат, в проекціях на осі якої, основне векторне рівняння можна записати у вигляді трьох диференціальних рівнянь руху матеріальної точки:

; ;

де , , і , , – відповідно проекції прискорення точки і проекції сили і на осі координат.

Пряма задача динаміки матеріальної точки розв’язується просто. Справді, знаючи рівняння руху точки

x=x(t); y=y(t); z=z(t),

знаходимо проекції прискорення точки на осі координат як другі похідні за часом відповідної координати точки - , , ; помножуючи почленно ці проекції прискорення на масу, дістанемо проекції рівнодійної сили F. Величину і напрям цієї сили легко знайти за відомими формулами:

^

^

^

В оберненій задачі динаміки за заданими силами, прикладеними до матеріальної точки, визначається закон її руху інтегруванням диференціальних рівнянь. Розв’язання другої задачі динаміки навіть у простих випадках часто становить значні труднощі, оскільки диференціальні рівняння руху матеріальної точки лише у виняткових випадках можуть бути проінтегровані в квадратурах. Але сучасний стан обчислювальної техніки дозволяє розв’язувати будь які задачі динаміки з будь – якім степенем наближення, необхідного для розв’язку прикладних технічних задач.

При розв’язанні оберненої задачі динаміки матеріальної точки треба здійснити такі операції:

1. Виділити тіло, розглядуване як матеріальна точка, рух якого треба визначити. Звичайно вибирається таке тіло, до якого прикладені відомі сили, або таке елементи руху якого були б відомі хоча б частково .В задачах динаміки точки цей вибір не становить значних труднощів;

2. Побудувати схему сил, прикладених до вибраної точки. Щоб ця схема була складена вірно треба з’ясувати з якими тілами взаємодіє розглядувана матеріальна точка. Схему слід складати для вільного проміжного її положення, оскільки динамічні основи руху на початку і в кінці його можуть відрізнятися від умов руху в цілому. Слід звернути увагу і на характер прикладених сил: сталі вони чи змінні;

3. Встановити, в якому інтервалі часу вивчається рух точки в даній задачі. У складних випадках зручно поділити весь час розглядуваного руху на кілько інтервалів;

4. Уважно вивчити, які кінематичні і динамічні величини задані в умові задачі, а також чи відома траєкторія руху точки;

5. Скласти диференціальні рівняння відповідно до вибраного методу розв’язування задачі;

6. Зинтегруванти систему диференціальних рівнянь руху. За заданими початковими умовами визначити постійні інтегрування і записати рівняння руху точки.

7. Використовуючи одержані рівняння руху точки знайти шукані величини.

Завдання ДТ1. ПРЯМА, АБО ПЕРША, ОСНОВНА ЗАДАЧА

Визначити силу , діючу на матеріальну точку маси m, яка рухається шорсткою горизонтальною площиною вздовж осі Х, якщо задано кінематичне рівняння її руху у вигляді x=af(t). Сила нахилена до горизонту під кутом α.

Необхідні дані наведені в таблиці 7.

Необхідно знати:

1. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки в проекціях на декартові осі координат.

Необхідно вміти:

1. Брати похідні від різних функцій.