Следствия из преобразований Лоренца
1) Относительность одновременности. Одновременность пространственно разделенных событий относительна. По определе-нию, два события, которые происходят в разных точках х1 и x2 сис-темы К, являются одновременными, если они происходят в один и тот же момент времени t1 = t2 ( t = 0) по часам, расположенным в
этих точках. При этом предполагается, что часы синхронизированы согласно определению Эйнштейна. В системе К' эти же события произойдут в точках с координатами x1′ и x2′ в моменты времени t1′
и t2′. Использовав преобразования Лоренца, покажем, что события,
одновременные в системе К, в системе К' будут происходить в раз-ные моменты времени. Воспользуемся преобразованиями Лоренца
(7.3.6)
| t1′ | = | t | − x υ c2 | и t2′ | = | t | − x | υ c2 | . | (7.4.1) | ||||||||||
| υ2 | ||||||||||||||||||||
| υ2 | ||||||||||||||||||||
| 1 − c2 | 1 − c2 | |||||||||||||||||||
| t −( x | − x )υ c2 | ( x | − x | )υ c2 | ||||||||||||||||
| t ′ = | или | t′ = | ≠ 0 . | (7.4.2) | ||||||||||||||||
| υ2 | ||||||||||||||||||||
| 1 − | 1 − | υ2 | ||||||||||||||||||
| c2 | c | |||||||||||||||||||
| a y | Поэтому наблюдатели в сис- | |||||||||||||||||||
| К | 2υ = const | теме К′ зафиксируют эти события | ||||||||||||||||||
| как неодновременные t1′ ≠ t2′ . Спра- | ||||||||||||||||||||
| t1= t2 | ведливо и обратное утверждение − | |||||||||||||||||||
| x | события, | одновременные | в ИСО | |||||||||||||||||
| x1(t1) | x2(t1) | |||||||||||||||||||
| К′, не одновременны в ИСО К. Это | ||||||||||||||||||||
| б y | явление известно как относитель- | |||||||||||||||||||
| К′ | 1 υ = 0 | ность одновременности и возни- | ||||||||||||||||||
| кает из-за ограниченности скоро- | ||||||||||||||||||||
| сти распространения взаимодейст- | ||||||||||||||||||||
| V =υ | t1= t2 | |||||||||||||||||||
| вий. | ||||||||||||||||||||
| x1′ =const x2′ =const x′ | 2) Сокращение длины движу- | |||||||||||||||||||
| Рис. 7.4.1 | щихся тел. Длиной движущегося | |||||||||||||||||||
| тела | в | некоторой | системе | отсчета, |
по определению, называется расстояние между двумя точками этой системы координат, с которыми совпадают начало и конец тела в один и тот же момент времени по часам, расположенным в этих же точках используемой системы (рис. 7.4.1). Это значит, что l = х2 − х1 , если t2 = t1 . В собственной системе отсчета К′, в которой рассматри-ваемый объект покоится, собственная длина тела, l0 = x2′ − x1′. Вос-
пользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.6).
| x2′ = | x2− υt2 | , | x1′ = | x1− υt1 | ⇒ l0 | = x2′ − x1′ = | x2− x1− υ(t 2− t1) | ⇒ | |||||||||
| 1 − | υ2 | 1 − | υ2 | 1 − | υ2 | ||||||||||||
| c2 | c | c2 | |||||||||||||||
| l = | l | ⇒ | l = l 1− | υ2 | . | (7.4.3) | |||||||||||
| υ | 2 | c2 | |||||||||||||||
| 1 − | |||||||||||||||||
| c2 |
Соответственно, длина l линейки, измеренная в ИСО К, всегда меньше l0 − так называемой собственной длины, измеренной в системе покоя линейки К′. Это явление называется релятивистским сокраще-нием длин и помимо данного кинематического рассмотрения можетбыть выведено также и динамически из изменения сил, действующих между частицами вещества при его движении.
3) Интервал времени между двумя событиями. Собственным временем τ0 называется интервал времени между двумя события-ми, которые произошли в одной и той же точке собственной системы: отсчета, связанной с движущимся со скоростью υ объек-том. Это значит, что в системе К' время τ0 = t 2′ − t1′определяется при
условии, что x2′ = x1′, т. е. события происходя в одной и той же точке системы К', которая движется равномерно и прямолинейно с скоростью υ. С учетом сказанного из преобразования Лоренца следует
| ′ | ′ | 2 | ′ | ′ | υ c | 2 | τ0 | |||||
| τ= t | − t = t 2 | + x2 υ c | − t1 | + x1 | = | . | (7.4.4) | |||||
| υ2 | υ 2 | υ2 | ||||||||||
| 1 − c 2 | 1 − c2 | 1 − c2 |
7.5. Теорема сложения скоростей в СТО
Формула преобразования скоростей в СТО устанавливает связь между проекциями скорости точки в двух произвольных инерциаль-ных системах отсчета. Пусть в системах отсчета К и К' движение ма-териальной точки определяется координатным способом
| x = x (t ), y = y (t ), z = z (t )и | x′= x′( t ′), y′ = y ′( t ′), z′ = z′( t ′). | (7.5.1) | ||||||||||||
| Тогда проекции скорости | ||||||||||||||
| υ x = | dx | , υ y = | dy | , υ z = | dz | и | ′ | dx′ | ′ | dy′ | ′ | dz′ | . (7.5.2) | |
| dt | dt | dt | υ x = | dt′ | , υ y = | dt′ | , υ z = | dt′ | ||||||
Воспользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.7) и продиффе-
| ренцируем | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ′ | +υdt | ′ | ′ | ′ | dt | ′ | ′ | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dx | + dx υ c | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dx = | υ 2 | , | dy = dy , dz = dz , | dt = | υ2 | , | (7.5.3) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 − c 2 | 1 − c2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| и получим | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dx | ′ | + υ dt | ′ | ′ | + υ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| υ x | = | = | dx | = | υ x | , | (7.5.4) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dt | dt | ′ | ′ | υ c | ′ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| + dx | 1 + υ x υ c | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dy | ′ | υ2 | ′ | υ2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| υ | y | = dy | = | 1 − c 2 | = | υ y 1 | − c2 | , | (7.5.5) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ′ | ′ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dt | dt | + dx | ′ | υ c | υ c | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 +υ x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ′ | 1 − | υ2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| υ z = | dz | = | υ z | c2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| . | (7.5.6) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dt | ′ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 + υ x υ c |
Выражения (7.5.4−7.5.6) являются формулами преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета в другую (реляти-
вистский закон сложения скоростей).
Если аналогичные действия проделать с обратными преобразо-ваниями Лоренца в форме (7.3.6), то получим выражение для скоро-стей в системе К′ через скорости в системе К.
| υ y | 1 − | υ2 | υ z | 1 − | υ2 | ||||||||||||
| ′ | υ x − υ | ′ | c2 | ′ | c2 | ||||||||||||
| υ x = | , | υ y = | , | υ z = | .(7.5.7) | ||||||||||||
| − υ x υ c2 | 1 − υ x υ c2 | 1 − υ x υ c2 | |||||||||||||||
