Формы законов распределения дискретной случайной величины
Рассмотрим дискретную случайную величину Х с конечным набором ее возможных значений х1, х2, …, хn. В результате некоторого испытания случайная величина Х примет одно из этих значений. Иначе говоря, произойдет одно из следующих несовместных событий, образующих полную группу: Х = х1, Х = х2, …, Х = хn. Обозначим вероятности этих событий через р1=Р(Х=х1), р2=Р(Х=х2), …, рn=Р(Х=хn). Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий или, иначе, сумма вероятностей появления возможных значений случайной величины равна единице, т.е.
(5.1)
Таким образом, каждому возможному значению случайной величины хк поставлено в соответствие число рк – вероятность появления этого значения, т.е. получена зависимость между возможными значениями случайной величины и вероятностями появления этих значений. Эта зависимость определяет основные формы закона распределения дискретной случайной величины. Она может быть представлена таблично, графически и аналитически. Простейшее представление такой зависимости в виде таблицы называется рядом распределения.
Рядом распределения вероятностей дискретной случайной величиныназывается ее закон распределения, записанный в виде таблицы, в первой строке которой приведены все возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а во второй строке – соответствующие этим значениям вероятности.
Ряд распределения для дискретной случайной величины с конечным множеством значений имеет вид:
| Х | х1 | х2 | … | хn |
| Р | р1 | р2 | … | рn |
Для значений второй строки данной таблицы выполнена формула (5.1). Таким образом, само название этой таблицы говорит о том, что единица как бы распределена между всеми значениями случайной величины согласно имеющимся вероятностям.
Если множество значений дискретной случайной величины бесконечно (счетно): х1, х2, …, хn, …, то ряд распределения будет представлен бесконечной таблицей, а формула (5.1) примет вид
.
В дальнейшем, в основном, будут рассматриваться дискретные случайные величины с конечным множеством значений.
Ряд распределения является табличной формой задания закона распределения. Однако он может быть задан, как и функция в математическом анализе, графическим способом. Если по оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений, то, соединив точки (хк, рк) последовательно отрезками прямой линии, получим ломаную, которая является графической формой закона распределения дискретной случайной величины и называется многоугольником распределения вероятностей.Иногда многоугольником распределения вероятностей называют, по аналогии с геометрическими фигурами, саму фигуру (многоугольник), расположенную под ломаной линией.
Покажем на конкретном примере, как, используя формулы первой главы, найти закон распределения случайной величины.
Пример 5.1. В денежной лотерее разыгрывается 10 выигрышей в 50 рублей и 20 выигрышей по 10 рублей при общем числе билетов 100. Найти закон распределения в виде ряда распределения и многоугольника распределения выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Возможные значения для случайной величины Х это 0 рублей, 10 рублей и 50 рублей. Вероятности этих значений могут быть найдены по классической формуле, т.е.
Таким образом, ряд распределения имеет вид:
| Х | |||
| Р | 0,7 | 0,2 | 0,1 |
Построим многоугольник распределения (рис.5.1):
 |
Рис.5.1.
Многоугольник распределения в данном примере характеризует невыпуклое множество. ■
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан и аналитически, в виде функции 
, позволяющей находить вероятности какого-либо значения по определенной формуле, зная само это значение случайной величины. В зависимости от вида этой функции некоторые законы распределения получили свое название. Рассмотрению конкретных законов распределения посвящена 7 глава.
Ряд распределения для непрерывной случайной величины построен быть не может, так как невозможно даже записать первую строку этого ряда, т.е. перечислить все возможные значения случайной величины. Более того, в дальнейшем, будет показано, что вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины просто равна нулю. Однако, несмотря на нулевые вероятности отдельных значений случайной величины, нахождение ее возможных значений в различных, иногда очень маленьких, интервалах обладает различными и отличными от нуля вероятностями. Поэтому распределение непрерывной случайной величины задают используя не отдельные значения этой величины, а интервалы, в которые могут попадать эти значения. С помощью интервалов может быть задано и распределение дискретной случайной величины. Таким образом, существует особая форма закона распределения, которая относится и к дискретной и к непрерывной случайным величинам, т.е. является универсальным законом распределения. Этой формой является функция распределения.