Задача 4. сложное движение точки

Пластина вращается вокруг прямой АВ с постоянной угловой скоростью задача 4. сложное движение точки - student2.ru (рисунок 10). Направление вращения определяется знаком угловой скорости. Когда задача 4. сложное движение точки - student2.ru , пластина вращается против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси z, если задача 4. сложное движение точки - student2.ru , то – по часовой стрелке при взгляде навстречу оси z.

задача 4. сложное движение точки - student2.ru

Рисунок 10 – Схема к задаче 4

Система координат x, y, zсвязана с пластиной. Точка М движется из начала координат О вдоль луча, лежащего в плоскости пластины под углом задача 4. сложное движение точки - student2.ru к оси у. Закон движения точки М, угол задача 4. сложное движение точки - student2.ru и значение задача 4. сложное движение точки - student2.ru приведены в таблице 5.

В задаче нужно определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени задача 4. сложное движение точки - student2.ru с.

Таблица 5 – Исходные данные для задачи 4

Предпоследняя цифра шифра Закон движения точки М задача 4. сложное движение точки - student2.ru задача 4. сложное движение точки - student2.ru , рад/с Последняя цифра шифра задача 4. сложное движение точки - student2.ru , град
задача 4. сложное движение точки - student2.ru
задача 4. сложное движение точки - student2.ru - 4
задача 4. сложное движение точки - student2.ru - 3
задача 4. сложное движение точки - student2.ru - 30
задача 4. сложное движение точки - student2.ru - 4
задача 4. сложное движение точки - student2.ru - 3
задача 4. сложное движение точки - student2.ru
задача 4. сложное движение точки - student2.ru - 4 - 40
задача 4. сложное движение точки - student2.ru
задача 4. сложное движение точки - student2.ru - 2

Пример 4

Решим предложенную задачу для следующих условий:

задача 4. сложное движение точки - student2.ru рад/с; задача 4. сложное движение точки - student2.ru ; задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

Изобразим пластину и оси z и y, лежащие в плоскости пластины (рисунок 11). Ось х направлена перпендикулярно плоскости пластины на нас. По правилам прямоугольной диметрии ее нужно изобразить под углом 450 к оси у. Однако для наглядности рисунка это правило можно нарушить: необходимо, чтобы ось х не совпадала по направлению ни с одной из прямых, лежащих в плоскости zу.

С учетом того, что по условию задачи задача 4. сложное движение точки - student2.ru , изобразим стрелкой направление вращения вокруг оси z по часовой стрелке, если смотреть навстречу оси z. Отложим угол задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

задача 4. сложное движение точки - student2.ru

Рисунок 11 - Схема для решения задачи 4

Решение

Точка М участвует в двух движениях. Одно движение, относительное, она совершает вдоль луча ОМ. Другое, переносное, она совершает вместе с пластиной.

Определим вначале, где будет находиться точка М на луче

задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

Тогда в момент времени задача 4. сложное движение точки - student2.ru с.

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м.

Учитывая, что задача 4. сложное движение точки - student2.ru , угол задача 4. сложное движение точки - student2.ru , найдем расстояние задача 4. сложное движение точки - student2.ru от точки М до оси вращения z

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м.

Определим все характеристики переносного движения.

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с.

Угловая скорость вращения задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

Тогда задача 4. сложное движение точки - student2.ru , так как задача 4. сложное движение точки - student2.ru и задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

Нормальное ускорение определим по формуле

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с2.

Изображаем на рисунке вектор задача 4. сложное движение точки - student2.ru с учетом направления вращения. Вектор задача 4. сложное движение точки - student2.ru направляем от точки М к оси вращения.

Определим характеристики относительного движения. Скорость

задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

Определим относительную скорость в момент времени задача 4. сложное движение точки - student2.ru с

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с.

Поскольку задача 4. сложное движение точки - student2.ru , вектор задача 4. сложное движение точки - student2.ru направляем в сторону положительного направления отсчета величины s, т.е. от точки О.

Относительное ускорение для случая движения точки по прямой состоит только из тангенциального

задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

В момент времени задача 4. сложное движение точки - student2.ru с задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с2.

Получили задача 4. сложное движение точки - student2.ru , поэтому направляем вектор задача 4. сложное движение точки - student2.ru в сторону положительного направления отсчета величины s.

Определим кориолисово ускорение точки, модуль которого вычисляется по формуле

задача 4. сложное движение точки - student2.ru ,

где задача 4. сложное движение точки - student2.ru - угол между векторами задача 4. сложное движение точки - student2.ru и задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

Переносной угловой скоростью задача 4. сложное движение точки - student2.ru в задаче является угловая скорость вращательного движения пластины задача 4. сложное движение точки - student2.ru задача 4. сложное движение точки - student2.ru . Вектор задача 4. сложное движение точки - student2.ru лежит на оси вращения, т.е. направлен вдоль оси z или навстречу ей.

Направление вектора определяем по правилу буравчика и наносим изображение вектора задача 4. сложное движение точки - student2.ru в любом месте на оси вращения. Отрицательное значение скорости задача 4. сложное движение точки - student2.ru приводит к тому, что вектор задача 4. сложное движение точки - student2.ru направлен навстречу оси z.

Для определения угла задача 4. сложное движение точки - student2.ru между векторами задача 4. сложное движение точки - student2.ru и задача 4. сложное движение точки - student2.ru изобразим оба вектора исходящими из одной точки, например из точки М. Наименьший угол между ними легко определяется из геометрических соображений задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

Тогда

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с2.

Направление вектора задача 4. сложное движение точки - student2.ru определяем следующим образом. Два вектора задача 4. сложное движение точки - student2.ru ^ задача 4. сложное движение точки - student2.ru образуют плоскость, которая в данной задаче совпадает с плоскостью вращающейся вокруг оси пластины.

Вектор задача 4. сложное движение точки - student2.ru направлен перпендикулярно этой плоскости. Направлен в ту сторону, чтобы, глядя ему навстречу, видеть поворот, который совершает вектор задача 4. сложное движение точки - student2.ru до совмещения с вектором задача 4. сложное движение точки - student2.ru по кратчайшему пути происходящим против часовой стрелки (см. рисунок 11).

Теперь вычислим задача 4. сложное движение точки - student2.ru и задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

Так как задача 4. сложное движение точки - student2.ru ^ задача 4. сложное движение точки - student2.ru , т.е. слагаемые векторы взаимно перпендикулярны, используем для вычисления модуля задача 4. сложное движение точки - student2.ru формулу Пифагора

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с.

Вектор задача 4. сложное движение точки - student2.ru определяется как векторная сумма

задача 4. сложное движение точки - student2.ru .

Спроектируем это векторное уравнение на оси x, y, z. Получаем

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с2;

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с2;

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с2.

Тогда

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с2.

Ответ: задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с;

задача 4. сложное движение точки - student2.ru м/с2.

Список литературы

1. Теоретическая механика /Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В.А. – 2-е изд., перераб. и доп., ил., 2005. – 35 с.

2. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике / под ред. А.А.Яблонского. – М.: Высшая школа, 1985. – 367 с.


Наши рекомендации