Электрондардың азғындалуы

Кезінде біз идеал газға Максвелл-Больцман статистикасын қолдандық. Бұл дұрыс па? Металдағы электрондарды сипаттау үшін қандай статистиканы колдануға болады? Осы сұрақтардың жауабы ретінде энергиясы 0-ден -ге дейінгі интервалдағы күйлердің жалпы санын табамыз. (3.13) интегралдап, аламыз:

Идеал газ молекуласы (бір атомды молекула) мен электрондар үшін . Сонда күйлердің жалпы саны:

(3.16)

(3.16) жазғанда және деп алдық).

Ұжымның азғындалмау критериі , мұндағы , – бөлшектер концентрациясы.

(3.17)

Ең жеңіл газ –сутегін алайық.

кг, қысым Па және бөлме температурасында К, м^–3, Дж.

Осы мәндерді (3.17) қойсақ, онда аламыз . Металдағы электрондар үшін: кг, м^–3, онда .

Шынында да, идеал газ Максвелл-Больцман (М-Б) статистикасына бағынады, ал металдағы электрондар азғындалған ұжым, ол Ферми-Дирак статистикасына бағынады.

Азғындалу температурасы

(3.17) теңдеуден көрініп тұрғандай, ұжымның азғындалмағанына жету үшін: 1) концентрацияны азайту және 2) температураны арттыру қажет. Электрондар үшін м^–3 болғанда . Электрондардың аз концентрациясы меншікті және әлсіз легирленген жартылай өткізгіштерде кездеседі және оларды М-Б статистикасымен сипаттауға болады. Осындай жартылай өткізгіштер азғындалмаған деп аталады (бірақ та, мысалы туннельді диодтар күшті легирленген, азғындалған жартылай өткізгіштерден жасалады).

Одан төменгі температурада жүйе азғындалатын температура – азғындалу температурасы деп аталады. Ол мына теңдіктен табылады:

, осыдан

(3.18)

Электрондар үшін (спиндерін ескерсек):

;

Þ . (3.19)

Металдағы электрондар үшін деп алсақ, онда (!).

Азғындалмаған газға арналған таралу функциясы. Максвелл-Больцман таралу функциясы

Азғындалмаған ұжымда классикалық (күй спектрі үзіліссіз) және кванттық (күй жиынтығы дискретті болатын) бөлшектер болуы мүмкін. Осындай бөлшектер классикалық физикадан жақсы таныс М-Б функциясымен сипатталады:

. (3.20)

-ді күй саны көбейтсек, онда толық таралу функциясын аламыз:

(3.21)

Қатты денелердің электрлік қасиеттеріндегі ең маңыздысы электрон болып табылады, енді ары қарай таралу функциясын спинді ескере отырып жазамыз.

3.3-суретте және шамаларының температураларында бөлшектер энергиясы -ге тәуелділік графиктері кескінделген.

Суреттен көрініп тұрғандай, температура төмендеген сайын энергия мәндерінің шамалары аз бөлшектер саны шексіз түрде өседі. Абсолют нөл температурада барлық бөлшектер ең төменгі энергетикалық күйде орналасады.

-ға арналған өрнек аламыз. (3.21) теңдеуі концентрациясы -ге тең бөлшектер үшін мынаған тең болады:

(3.22)

Осы (3.22) энергияның барлық мәндері бойынша (0-ден дейін) интегралдасақ:

(3.23)

Осыдан -ді табуға болады:

(3.24)

(3.24)-ті (3.19)-ға қоямыз:

,

(3.25)

Осы түрдегі М-Б таралу функциясы нақты есептеулер жасауға ыңғайлы.