Задача С 1. Определение реакций связей
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
для студентов-заочников технических специальностей
высших учебных заведений
ВВЕДЕНИЕ
В курсе теоретической механики студенты изучают три ее раздела: статику, кинематику и динамику.
Для изучения курса необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Во всех разделах курса широко используется векторная алгебра. Необходимо уметь вычислять проекции векторов на координатные оси, находить геометрически (построением векторного треугольника или многоугольника) и аналитически (по проекциям на координатные оси) сумму векторов, вычислять скалярное и векторное произведения двух векторов и знать свойства этих произведений. Надо уметь свободно пользоваться системой прямоугольных декартовых координат на плоскости и в пространстве, знать, что такое единичные векторы (орты) этих осей и как выражаются составляющие вектора по координатным осям с помощью ортов.
Для изучения кинематики, надо уметь дифференцировать функции одного переменного, строить графики этих функций, быть знакомым с понятиями о естественном трехграннике, кривизне кривой и радиусе кривизны, знать основы теории кривых 2-го порядка, изучаемой в аналитической геометрии.
Для изучения динамики надо уметь находить интегралы (неопределенные и определенные) от простейших функций, вычислять частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных, а также уметь интегрировать дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
При изучении материала курса по учебнику нужно, прежде всего, уяснить и понять существо каждого излагаемого там вопроса.
Изучать материал рекомендуется по темам (пунктам приводимой ниже программы). Особое внимание следует обратить на формулировки соответствующих определений, теорем и т. п. Однако, не следует стараться заучивать формулировки; важно понять их смысл и уметь изложить результат своими словами. Необходимо также понять ход всех доказательств и разобраться в их деталях. Закончив изучение темы, полезно составить краткий конспект.
Особое внимание следует уделить приобретению навыков решения задач. Для этого, изучив материал данной темы, надо сначала обязательно разобраться в решениях соответствующих задач, которые приводятся в учебнике, обратив особое внимание на методические указания по их решению.
Закончив изучение темы, нужно проверить, можете ли вы дать ответ на вопросы программы курса по этой теме (осуществить самопроверку), приведенные в данном пособии.
Указания по выполнению контрольных заданий приводятся ниже после рабочей программы. Их надо прочитать обязательно и ими руководствоваться. Кроме того, к каждой задаче даются конкретные методические указания по ее решению, краткие теоретические сведения, приводится пример решения, вопросы для самоконтроля.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
(соответствует стандартам специальностей)
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. Предмет статики. Основные понятия статики: материальная точка, абсолютно твердое тело, сила, эквивалентные системы сил, равнодействующая, уравновешенная система сил, силы внешние и внутренние. Сосредоточенные и распределенные силы. Силы, равномерно распределенные по отрезку прямой и их равнодействующая. Аксиомы статики. Основные виды связей и их реакции: гладкая поверхность, гибкая нить, опора, цилиндрический шарнир (подшипник), сферический шарнир (подпятник), жёсткая заделка.
Система сходящихся сил. Равнодействующая сходящихся сил. Геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил. Аналитические условия равновесия пространственной и плоской систем сходящихся сил. Теорема о равновесии трех сил.
Момент силы относительно точки (центра). Пара сил. Момент пары сил. Теоремы об эквивалентности пар. Сложение пар, произвольно расположенных в пространстве. Условия равновесия системы пар.
Приведение произвольной системы сил к данному центру. Теорема о параллельном переносе силы. Главный вектор и главный момент системы сил.
Система сил, произвольно расположенных на плоскости (плоская система сил). Аналитические условия равновесия плоской системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.
Система сил, произвольно расположенных в пространстве (пространственная система сил). Момент силы относительно оси. Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси, проходящей через этот центр. Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил. Частные случаи приведения пространственной системы сил: приведение к паре сил, к равнодействующей, к динамическому винту и случай равновесия. Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил
Центр параллельных сил и центр тяжести. Формулы для определения координат центра параллельных сил. Центр тяжести твердого тела. Центры тяжести, объема, площади и линии. Способы определение положения центров тяжести тел. Центры тяжести: дуги окружности, треугольника и кругового сектора. Условия равновесия плоской и пространственной системы параллельных сил.
Равновесие системы тел. Равновесие при наличии сил трения. Трение скольжения. Коэффициент трения. Предельная сила трения. Угол и конус трения. Трение качения; коэффициент трения качения.
КИНЕМАТИКА. Предмет кинематики. Пространство и время в классической механике. Механическое движение. Система отсчета. Траектория.
Кинематика точки. Векторный способ задания движения точки. Координатный способ задания движения точки. Естественный способ задания движения точки. Скорость и ускорение точки при разных способах задания её движения.
Кинематика твердого тела. Поступательное движение твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси (вращательное движение). Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела. Законы равномерного и равнопеременного вращения. Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Теорема о сложении скоростей. Мгновенный центр скоростей. Теорема о сложении ускорений. Понятие о мгновенном центре ускорений.
Движение твердого тела вокруг неподвижной точки или сферическое движение. Углы Эйлера. Мгновенная ось вращения тела. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку.
Общий случай движения свободного твердого тела. Уравнения движения свободного твердого тела.
Сложное движение точки и твердого тела или составное движение. Абсолютное и относительное движения точки; переносное движение. Относительная, переносная и абсолютная скорости и относительное, переносное и абсолютное ускорения точки. Теорема о сложении скоростей. Теорема Кориолиса о сложении ускорений. Модуль и направление кориолисова ускорения. Сложное движение твердого тела.
ДИНАМИКА. Предмет динамики. Основные понятия и определения. Законы классической механики или законы Галилея-Ньютона. Инерциальная система отсчета. Задачи динамики.
Динамика точки. Решение первой и второй задач динамики. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в декартовых координатах. Относительное движение материальной точки.
Свободные прямолинейные колебания точки. Колебания материальной точки под действием восстанавливающей силы. Затухающие колебания материальной точки. Вынужденные колебания материальной точки.
Механическая система. Классификация сил, действующих на механическую систему: силы активные и реакции связей; силы внешние и внутренние. Свойства внутренних сил. Масса системы.
Моменты инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей или теорема Гюйгенса.
Общие теоремы динамики. Теорема о движении центра масс. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Теорема о движении центра масс механической системы. Количество движения материальной точки и механической системы. Элементарный импульс силы. Теорема об изменении количества движения материальной точки и механической системы.
Момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра и относительно оси. Теорема об изменении момента количества движения, материальной точки. Главный момент количества движения или кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента механической системы. (Теорема, об изменении кинетического момента механической системы в относительном движении по отношению к центру масс.)
Кинетическая энергия материальной точки. Теорема об изменении кинетической энергии. Элементарная работа силы; аналитическое выражение элементарной работы. Работа силы на конечном перемещении точки ее приложения. Работа силы тяжести, силы упругости. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки, в дифференциальной и конечной формах.
Кинетическая энергия механической системы. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении, при вращении вокруг неподвижной оси и в общем случае движения (в частности, при плоскопараллельном движении). Теорема об изменении кинетической энергии механической системы, в дифференциальной и конечной формах. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и силовая функция. Работа силы на конечном перемещении точки в потенциальном силовом поле. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии.
Динамика твердого тела. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
Принцип Даламбера. Принцип Даламбера для материальной точки. Принцип Даламбера для механической системы.
Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Связи, налагаемые на механическую систему. Возможные перемещения материальной точки и механической системы. Число степеней свободы системы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения движения системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа). Обобщенные координаты системы. Выражение элементарной работы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление. Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода.
Понятие об устойчивости равновесия. Малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия системы и их свойства.
Элементы теории удара. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность; упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе и его опытное определение. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основной
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 2002, 416 с.
2. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. – СПб.: Лань, 2002, 764 с.
3. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон Л. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. – СПб.: Лань, 1995, 669 с.
4. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1990, 607 с.
5. Мещерский И. В. Задачи по теоретической механике. – СПб.: Лань, 2002, 448 с.
6. Сборник задач по теоретической механике/Под ред. К. С. Колесникова. М., 1983.
Дополнительный
1. Бутенин Я. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики. – СПб.: Лань, 2002, 729 с.
2. Старжинский В. М. Теоретическая механика. – М.: 1980.
3. Сборник заданий для курсовых работ но теоретической механике /Под ред. А. А. Яблонского. М., 1985 и последующие издания.
При составлении данного пособия использованы материалы работы «Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений» Л.И. Котова, Р.И. Надеева, С.М. Тарг и др. Под ред. С.М. Тарг – 4-е изд. – М.: Высш.шк., 1989. – 111 с.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ, ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ, ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ
К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С 1.4 — это рис. 4 к задаче С 1 и т. д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4 и т.д.). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.
Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице — по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берутся рис. 4 и условия № 6 из таблицы.
Каждое задание выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность.
Решение каждой задачи обязательно начинать на развороте тетради. Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж (можно карандашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывается). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы, число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать этим условиям. В результате в целом ряде задач чертеж получается более простой, чем общий.
Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, а его размеры должны позволять ясно показать все силы или векторы скорости и ускорения и др.; показывать все эти векторы и координатные оси на чертеже, а также указывать единицы получаемых величин нужно обязательно. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т. п.) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.
Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, проверяться не будут, а будут возвращаться для переделки.
К работе, подаваемой на повторную проверку (если она выполнена в другой тетради), должна обязательно прилагаться не зачтённая работа.
На момент сдачи экзамена, все контрольные работы должны быть зачтены.
При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Большинство рисунков дано без соблюдения масштабов. На рисунках к задачам все линии, параллельные строкам, считаются горизонтальными, а перпендикулярные строкам — вертикальными и это в тексте задач специально не оговаривается. Также без оговорок считается, что все нити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми, нити, перекинутые через блок, по блоку не скользят, катки и колеса (в кинематике и динамике) катятся по плоскостям без скольжения. Все связи, если не сделано других оговорок, считаются идеальными.
Следует также иметь в виду, что некоторые из заданных в условиях задачи величин (размеров) при решении каких-нибудь вариантов могут не понадобиться, они нужны для решения других вариантов задачи.
Из всех пояснений в тексте задачи обращайте внимание только на относящиеся к вашему варианту, т. е. номеру вашего рисунка или вашего условия в таблице.
Методические указания по решению задач, входящих в контрольные задания, даются для каждой задачи после ее текста под рубрикой «Указания», затем дается пример решения аналогичной задачи. Цель примера — разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояснениями; в конце должны быть даны ответы.
ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
Задача С 1. Определение реакций связей
Жесткая рама, расположенная в вертикальной плоскости (рис. С 1.0 – С 1.9, табл. С 1), закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.
В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р = 25 кН. На раму действуют пара сил с моментом М = 100 кН×м и две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в таблице.
Определить реакции связей в точках А, В, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах, принять, а = 0,5 м.
 |  |  | |
 |  |  | |
 |  |  | |
 | Таблица С1  | ||
Пример C1.
Жесткая пластина ABCD имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В подвижную шарнирную опору на катках.
F = 25 кН, a = 60°, Р = 18 кН, γ = 75°, М = 50 кН·м, β = 30°, а = 0,5 м.
Определить: реакции в точках А и В.
Решение.
1. Рассмотрим равновесие пластины. Заменим связи соответствующими реакциями: натяжение троса Т (по модулю Т = Р); шарнирно-неподвижную опору А двумя составляющими –ХА, YA, ; шарнирно-подвижную опору – RB.
2. Для плоской произвольной системы сил составим три уравнения равновесия.
;
;
Подставив в составленные уравнения, числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции:
ХА= –8,5 кН; YА= –23,3 кН; RВ= 7,3 кН. Знаки указывают, что силы ХА и YА направлены противоположно показанным на рис. С 1.
После нахождения реакций связей необходимо выполнить проверку с помощью другого уравнения равновесия. Например, определить сумму моментов всех сил относительно точки С. Если равенство окажется равным нулю, то значения найденных реакций, определены, верно.
.