Застосування принципу Даламбера до визначення реакцій в’язей
1. Принцип Даламбера для невільної матеріальної точки: в кожен момент руху невільної матеріальної точки геометрична сума активних сил, реакцій в’язей і сили інерції дорівнює нулю:
(1)
Вектор 
, який дорівнює по модулю добутку маси матеріальної точки на її прискорення і направлений протилежно вектору прискорення, називається даламберовою силою інерції, або просто силою інерції матеріальної точки:
. (2)
Якщо рух матеріальної точки заданий природним способом, то прискорення цієї точки визначається за формулою:
.
В цьому випадку сила інерції уявляє собою суму двох складових:
Дотична і нормальна складові сили інерції визначаються за формулами:
, 
(3)
2. Принцип Даламбера для невільної механічної системи матеріальних точок: якщо до кожної матеріальної точки рухомої механічної системи крім активних сил і реакцій в’язей прикласти відповідну силу інерції, то у будь-який момент руху діючі на цю точку активні сили, сили реакцій в’язей і сили інерції утворюють зрівноважену систему сил і до неї можна застосовувати всі рівняння статики
(4)
Для розв’язання задач застосовують не сам принцип Даламбера, а наслідки з нього: головний вектор і головний момент відносно будь-якого центра прикладених до системи зовнішніх сил і сил інерції всіх її точок дорівнюють нулю:
, 
(5)
3. Головний вектор сил інерції механічної системи дорівнює добутку маси системи на прискорення центра мас і напрямлений протилежно цьому прискоренню:
(6)
Головний момент сил інерції механічної системи відносно деякого центра О дорівнює взятій зі знаком «мінус» похідній за часом від кінетичного момента системи відносно того ж центра
(7)
4. Зведення сил інерції точок твердого тіла до найпростішого виду:
- при поступальному русі твердого тіла сили інерції точок цього тіла зводяться до рівнодійної сили, яка прикладена в центрі мас тіла і дорівнює по модулю добутку маси тіла на модуль прискорення його центра мас і напрямлена протилежно цьому прискоренню:
(8)
- при обертальному русі твердого тіла навколо нерухомої осі, яка є головною центральною віссю інерції, сили інерції точок цього тіла зводяться до пари сил, момент якої визначається за формулою:
(9)
- при плоско паралельному русі твердого тіла, яке має площину симетрії і рухається паралельно до неї, сили інерції точок цього тіла зводяться до сили, прикладеної в центрі мас тіла, яка дорівнює головному вектору сил інерції, і до пари сил, що лежить в площині симетрії, момент якої дорівнює головному моменту відносно осі, що проходить через центр мас тіла перпендикулярно до нерухомої площини:
, (10)
План розв’язання задач за допомогою принципу Даламбера
1. Зобразити на рисунку механічну систему і прикласти до неї зовнішні сили.
2. Показати на схемі прискорення тіла, рух якого заданий або шукається, і в залежності від його напрямку показати прискорення (лінійні і кутові) всіх інших тіл системи.
3. Прикласти до всіх тіл системи головні вектори і головні моменти сил інерції, знайти їх значення, виразивши їх через задане або шукане прискорення.
4. Вибрати систему координат.
5 Скласти рівняння рівноваги отриманої системи сил.
6. Розв’язати отриману систему рівнянь і знайти шукані величини.
Приклади виконання завдання Д-16
Задача 1.
Визначити реакції зовнішніх в’язей механічної системи.
 
| Дано: схема системи (рис.1). Маси тіл системи: m1 =100 кг, m2=40 кг. Радіус тіла 2: R=0,1 м. Тіло 2 вважати однорідним циліндром. Обертальний момент: M=110 Н·м. Вагою стержнів ОА і ОВ знехтувати. | |||||||||||
Розв’язання (рис.2) 1.Покажемо на рисунку зовнішні сили, прикладені до механічної системи: сили ваги  і  ; обертальний момент М; зусилля в стержнях  і  . 2 Покажемо на схемі прискорення тіла 1 і кутове прискорення тіла 2  3 Прикладемо до тіла 1 силу інерції  , а до тіла 2 - головний момент сил інерції  і знайдемо їх модулі:  ,  |
. 
, 
4. Система координат показана на рис.2
5. Складемо рівняння рівноваги отриманої довільної плоскої системи сил:
, 
, (1)
, 
, (2)
, 
(3)
6. Розв’яжемо отриману систему рівнянь і знайдемо шукані величини:
з рівняння (3): 
, 
м/с
з рівняння (2): 
Н.
з рівняння (1): 
Н.
Відповідь: 
= 2549,5 Н (стержень ОА - розтягнутий),
= -2944 Н (стержень ОВ - стиснутий).
Задача 2.
Визначити реакції зовнішніх в’язей механічної системи, що зображена на рис.1.
 | Дано: ОА – однорідний стержень. Маса стержня : m=20 кг. Довжина стержня: l= 0,6 м. В точці О – кульовий шарнір. |
рис.2 Розв’язання.(рис.2) 1. Покажемо на схемі зовнішні сили, що діють на стержень ОА: силу ваги  і реакції кульового шарніра  і  (рис.2). 2. Диференціальне рівняння обертального руху стержня навколо осі Оz має вид:  . Звідси випливає, що  ,  . 3. Прискорення центра мас стержня (точки С):     . | |
4. Головний вектор сил інерції: ,  . 5. Прискорення кожної точки стержня напрямлено до осі обертання Оz і змінюється від нуля (в точці О) до максимального значення (в точці А). Отже, і сили інерції кожної точки стержня змінюються від нуля до максимального значення і напрямлені проти векторів прискорення точок стержня. Тобто, маємо лінійно розподілену систему сил інерції яку можна замінити зосередженою силою (рис.2). |
Згідно з принципом Даламбера ми отримали зрівноважену систему сил до якої можна застосувати рівняння статики.
6. Складемо рівняння рівноваги отриманої довільної плоскої системи сил (рис.2).
, 
, (1)
, 
, (2)
, 
(3)
7. Розв’яжемо отриману систему рівнянь і знайдемо шукані величини:
з рівняння (3) 
Н,
, 
рад/с,
з рівняння (1) 
Н,
з рівняння (2) 
Н.
Відповідь: 
= -84,9 Н, 
= -196Н.
Зауваження.
Положення точки прикладення сили можна було визначити з таких міркувань: оскільки сума моментів паралельних сил інерції точок стержня відносно точки О дорівнює рівнодійній цих сил (рис.2 і рис.3), то
, (4)
де h– плече сили відносно точки О (рис.2); 
– сила інерції елемента стержня довжиною 
; 
– координата елемента стержня (рис.3);
|  , де dm– маса елемента стержня довжиною . Підстановка в рівняння (4):  |
Звідки: 
Порівняйте результат з показаним на рис.2.
Короткі відомості з теорії і методичні вказівки,