ДС.3 Визначення реакцій в’язей тіла, що обертається навколо нерухомої осі

Тонкий стержень вагою Р (рис. 3.1-3.5) жорстко скріплений з круговим диском (парні варіанти) або тонким кільцем (непарні варіанти) вагою Q та радіусом r. Система обертається навколо горизонтальної осі в вертикальній площині із стану спокою під дією моменту М. Знайти кутове прискорення, кутову швидкість та зусилля в опорах осі при повороті системи на кут .

Стержень, диск, кільце вважати однорідними тілами; тертям в підшипниках знехтувати. Дані для розрахунку приведені в таблиці 3.1.

Таблиця 3.1.

Варіант	Р, Н	Q, H	r, м	АВ, м	М, Н м	, град
			0,1   0,3   0,4   0,1   0,2   0,3   0,4   0,1   0,2   0,3	0,3   0,9   1,0   0,4   0,6   1,0   1,2   0,3   0,5   0,8

Приклад виконання завдання

Система тіл, що складається з стержня 1 вагою Р, однорідного диска 2 та кільця 3, що мають відповідно вагу Q₂ та Q₃ та радіус R, обертається навколо горизонтальної осі О (рис. 3.6.) під дією пари сил з моментом М. Знайти кутове прискорення, кутову швидкість та зусилля в опорах осі при повороті матеріальної системи на кут , якщо в початковий момент часу система знаходилася в спокої.

Прийняти: P=10H; Q₂=20H; M=30Hм; Q₃=10H; R=0,2м; AO=0,8м; =60⁰. Рисунок 3.1

Рисунок 3.2

Рисунок 3.3

Рисунок 3.4

Рисунок 3.5

Рисунок 3.6

Розв’язання. На систему тіл діють активні сили , , та пара сил з моментом М (рис.3.7)

Переміщенню тіл перешкоджає в’язь: циліндричний шарнір О, дію якого на тіло, на підставі аксіоми звільнення від в’язів, замінюємо реакціями в’язей _{0, 0}.

Для визначення сил 0, 0 запишемо теорему про рух центра мас системи в проекціях на осі Х та Y.

М _с=F_x^е, (3.1)

М _с=F_y^е,

де М=m₁+m₂+m₃- маса системи тіл ( m₁= , m₂= , m₃= ), _с і _с-проекція прискорення центра мас системи на осі Х та Y, F_x^е і F_y^е- проекція головного вектора зовнішніх сил системи на осі Х та Y.

F_x^е =Х₀,

F_y^е=Y₀-P-Q₂-Q₃. (3.2)

Тепер із диференціальних рівнянь (3.1) отримаємо

Х₀=М _с,

Y₀=M +P (3.3)

Щоб знайти реакції в’язей необхідно визначити прискорення центра мас системи тіл

(3.4)

де , , -кутова швидкість тіла, - кутове прискорення тіла (системи тіл.)

Визначення кутового прискорення системи тіл

Кутове прискорення тіл знайдемо на підставі диференціального рівняння обертального руху тіла навколо осі .

. (3.5)

де I_z – момент інерції системи тіл відносно осі Z, - головний момент зовнішніх сил системи відносно осі Z.

Момент інерції тіл I_Z відносно осі дорівнює сумі моментів інерції тіл 1, 2, 3 відносно осі Z.

= + +

Момент інерції диска 2 відносно осі Z:

Момент інерції кільця 3 відносно осі Z:

.

Момент інерції стержня 1 відносно осі Z:

.

Тоді: .

Момент зовнішніх сил матеріальної системи (рис.3.7) відносно осі Z

. (3.6)

де OC , OC і OC відстань осі обертання до центра мас відповідного тіла.

Момент сили або момент пари сил беремо з додатним знаком, якщо він діє у напрямку обертання системи тіл.

Диференціальне рівняння (3.5), враховуючи (3.6), запишеться:

.

Звідки:

=

(3.7)

При =60⁰,