Разнообразие моделей очередей

Широкое разнообразие моделей может использоваться в опе­рационном менеджменте. Однако прежде чем углубляться в дета­ли, мы представим четыре наиболее широко используемые моде­ли. Они описаны в табл. 5.2, и примеры на каждую из них опи­саны в нескольких следующих параграфах. Более сложные модели описаны в учебниках по теории очередей или могут быть разрабо­таны с использованием моделирования. Заметим, что все четыре модели очередей (табл. 5.2) – простая система, многоканальная, постоянное время обслуживания и ограниченный размер источ­ника – имеют три общих характеристики. Они все предполагают:

1) прибытия распределяются по закону Пуассона;

2) FIFO-дисциплина;

3) однофазное обслуживание.

В дополнение к этому они описывают системы сервиса, кото­рые оперируют в стабильных условиях. Это означает, что прибы­тие и обслуживание остаются стабильными во время анализа.

Таблица 5.2 Модели очередей

Модель А. Одноканальная модель очередей с пуассоновым распределением прибытий и экспоненциальным временем обслуживания.Наиболее общий случай теории очередей пред­ставляет собой одноканальная, или односервисная, очередь обслу­живания. В этом случае прибытия формируют простую очередь на обслуживание к одной станции (рис. 5.3). Мы допускаем, что последующие условия относятся к этому типу систем.

1. Прибытия обслуживаются по правилу «первый пришел – первый ушел» (FIFO) и каждое прибытие ожидает обслуживания в зависимости от длины очереди.

2. Прибытия являются независимыми от предыдущих прибы­тий, но среднее число прибытий не изменяется во времени.

3. Прибытия описываются пуассоновым распределением ве­роятности и поступают из неограниченного (или очень-очень большого источника).

4. Время обслуживания изменяется от одного клиента к дру­гому, эти отрезки времени независимы друг от друга, но их среднее время известно.

5. Время обслуживания подчинено отрицательному экспонен­циальному закону распределения.

6. Время обслуживания меньше времени между прибытиями.

Когда эти условия выполнены, можно применить ряд формул для модели очередей А. Примеры 1 и 2 иллюстрируют, как модель А, известная по статьям в технических журналах как М/М/1, может быть использована.

Формулы для модели очередей А – простой, также называемой М/М/1

l – среднее число прибытий за период времени;

т – среднее число обслуженных за период времени;

Ls – среднее число единиц (клиентов) в системе = l / l – m;

Ws – среднее время единицы, проводимое в системе (время ожидания + время обслуживания) = 1 / m – l;

Lq – среднее число единиц в очереди = l² / m (m – l);

Wq – среднее время единицы, проводимое в ожидании в оче­реди = l / m (m – l);
r – коэффициент использования системы = l / m;

Р₀ – вероятность 0 единиц в системе (когда обслуживание бесполезно) = 1 – l / m;

Рп > k — вероятность более чем k единиц в системе = (l / m)^{k + 1}

ПРИМЕР 1

Механик из мастерской по ремонту глушителей способен обслуживать три автомобиля в час (или около 20 минут на один автомобиль) согласно отрицатель­ному экспоненциальному распределению. Клиенты, нуждающиеся в этом обслу­живании в мастерской, появляются по два человека в час, подчиняясь распределению Пуассона. Клиенты обслуживаются по правилу «первый пришел – первый ушел» и появляются из очень большого (практически неограниченного) источника возможных потребителей ремонтных услуг.

Для этого описания мы способны получить операционные характеристики системы очередей мастерской по ремонту глушителей.

l = 2 автомобиля, поступившие за час;

m = 3 автомобиля, обслуженные за час;

После того как мы рассчитаем операционные характеристики системы очере­дей, часто важно сделать экономический анализ их воздействия. Модель очередей, описанная выше, способна предсказывать потенциальное время ожидания, длину очереди, время простоя и т. д., но не способна определить оптимальное решение или учесть факторы затрат. Как установлено ранее, решение проблемы очередей может требовать менеджмента, сопоставляющего возрастающие затраты на прове­дение лучшего сервиса и уменьшающиеся затраты на ожидание, связанные с про­ведением такого сервиса. Давайте посмотрим затраты, относящиеся к примеру 1.

ПРИМЕР 2

Владелец мастерской по ремонту глушителей установил, что затраты в терми­нах неудовлетворенности клиента и потери хорошего настроения составляют $10 за час времени, проведенного в ожидании в очереди. С поступающего автомобиля имеем 2/3 часа ожидания (Wq) и, аппроксимируя это на 16 автомобилей, обслужи­ваемых в день (два автомобиля в час на восемь часов работы в день), получаем общее число часов, которое клиенты ожидают в очереди на ремонт глушителей каждый день:

2 / 3 (16) = 32 / 3 = 102 / 34.

Следовательно, в этом случае:

Затраты клиентов на ожидание в очереди = $10 (10 2/3) = $107 / день.

Другие основные затраты владельца мастерской могут определяться заработ­ком механика, который получает $ 7 / ч, или $ 56 / день. Тогда:

Общие рассчитанные затраты = $ 107 + $ 56 = $ 163 / день.