Методи розрахунку спіральних камер на міцність

Спіральну камеру можна представити як тонкостінну тороподібну посудину несиметричної форми із вирізаною внутрішньою бічною поверхнею, навантажену рівномірним внутрішнім тиском (рис. 3.4, а). Кромки за границями вирізу в камері пов'язані статором, жорсткість якого значно більша оболонки камери. Напружений стан у такій посудині представляється дуже складним, тому при розрахунку на міцність прибігають до ряду допущень, що спрощують постановку завдання. Один з найбільш простих і обгрунтованих методів розрахунку спіральної камери на міцність, у якому окремо визначається напруга в оболонці і на її закладених кромках, був розроблений А. Е. Жмудем.

Напруга в круглих перерізах спіральної камери, заданих радіусом r, визначаються так само, як у замкнутій, навантаженій внутрішнім тиском тороподібній оболонці, що має рівновеликі перерізи (рис. 3.4, б).

Рис. 3.4. До розрахунку спіральної камери: а – оболонка спіральної камери; б – рівно напружений тор у заданому перерізі; в – напруги у розрахунковій точці; г – побудова круглих і овальних перерізів

Напрями головної напруги у такій оболонці відповідають напрямам головних радіусів кривизни, які, згідно з теоремою Міньє, визначаються виразами

(3.1)

де q і R - відповідно, кут відносно осі z і радіус від тієї ж осі, що визначають положення розрахункової точки; інші радіуси показані на малюнку.

Головними напругами будуть: розташована у площини перерізу і перпендикулярна радіусу r₁ меридіональна напруга σ_М, а також розташована нормально до цієї площини і перпендикулярна радіусу r₂, кільцева, або тангенціальна, напруга σ_К.

Між собою головна напруги, як відомо з теорії пружності, пов'язані рівнянням Лапласа

(3.2)

де δ - товщина оболонки.

Меридіональну напругу σ_М можна визначити, прирівнявши зовнішні сили, що діють у напрямі осі z на радіусі R, до внутрішніх сил, викликаних напругою, що урівноважує їх в тому ж напрямі. Тоді відповідно до рис. 3.4, в

(3.3)

де - складова напруги по осі z; - проекція відсіченої радіусами R та R₀ поверхні тора на діаметральну площину. Звідси

(3.4)

де - напруга у тонкостінній циліндричній посудині, що називається котельною.

У спіральній камері, як це витікає з формули (3.4), котельній напрузі σ_М=σ₀ рівні меридіональні напруги в полярних точках b при R=R₀. Напруги при R-R₀ більші σ₀. Їх екстремальні значення будуть в точці с при R_пр=R_макс і в точці а при R_зд=R_мін причому найбільша напруга буде при R_зд.

Кільцеві напруги можна визначити, якщо формулу (3.2) перетворити, замінивши в ній r₂, із (3.1) і σ_М із (3.4). Тоді

(3.5)

Таким чином, у круглому перерізі ці напруги не залежить від положення точки, у якій вони визначаються. При практичному розрахунку спіральної камери на міцність зручно користуватися виразом для сил, що діють у розрахунковій точці (умовно віднесених до одиниці довжини перерізу), і відповідають головній напрузі, яку легко отримати з (3.4) для меридіональної сили

(3.6)

і для кільцевої сили

(3.7)

Овальні перерізи, обкреслені двома радіусами ρ₁ і ρ₂, що утворюють дві тороподібні оболонки А і Б, зв'язані у точці е (рис. 3.4, г), розглядаються як еліптичні, що вносить значні погрішності у розрахунок. Простіше визначати напругу у кожній з оболонок так само, як в круглих перерізах. Тоді з умов рівноваги на ділянці А, наприклад в точці 5, де радіус кривизни дорівнює ρ₂, і R-R´₀=ρ₂·sin q і на ділянці Б в точці 6, де радіус кривизни ρ₁, і R-R´´₀=ρ₁·sin q, отримаємо, підставляючи ці значення у формули (3.4) і (3.6), вирази для головних напруг і відповідних їм сил у овальних перерізах.

На ділянці А:

(3.8)

(3.9)

На ділянці Б:

(3.10)

(3.11)

Напруги в місці закладення відносно гнучких ланок спіральної камери в досить жорсткий статор визначаються окремо. Вони значно перевершують напругу у розглянутій вище оболонці тора. У місці закладення при раптовій зміні жорсткості також різко змінюються величина і характер деформації і напруга, що відповідає їм. Можна представити, що таке зміна викликана дією деяких сил Р і моментів М, що в даному випадку діють на кромку оболонки (крайовий ефект). Знаючи величину і напрям цих сил і моментів, можна визначити напругу. Для спрощення завдання статор вважають абсолютно жорстким, тоді уся деформація може бути віднесена до оболонки спіральної камери (рис. 3.5, а).

Координатами розрахункової точки в цьому положенні будуть: R_Д=R+ΔR; z_Д=z+Δz, де R та z - початкові координати точки а; ΔR та Δz - переміщення точки а в процесі деформації. Окрім координат зміниться напрям дотичної в точці а до поверхневої кривої оболонки, яке можна визначити кутом q_Д=q+Δq, де q - початкове значення кута; Δq - його зміна у процесі деформації.

Відносна деформація у напрямі радіусу в круглому перерізі

(3.12)

Деформацію радіусу, враховуючи напрям головної напруги, виразимо за формулою Гука

(3.13)

де μ - модуль Пуассона.

Рис. 3.5. До визначення місцевих напруг у спіральній камері:

а – у спряженні оболонки із статором; б – в овальних перерізах;

в – в конічних перехідних перерізах; г – у підкріпляючих ребрах

Підставляючи в (3.13) відповідні значення σ_М, σ_К та σ₀, отримаємо для круглого перерізу

(3.14)

Меридіальний момент М_М і спрямовану по радіусу силу Р_r, що діють на одиничній довжині і викликають деформацію кромки, можна визначити, якщо нехтувати кривизною осі спіральної камери (вважаючи на одиничній довжині вісь прямою) і використати метод визначення напруги у закладенні кромки циліндричної оболонки. За радіус такої еквівалентної оболонки прийнятий

Рівняння пружної лінії такої оболонки в координатах s і z´ і в позначеннях, показаних на рис. 3.4 і 3.5, а має вигляд

(3.15)

де s - переміщення кромки

(3.16)

- циліндрична жорсткість оболонки.

Тангенс кута нахилу пружної лінії визначається з виразу

(3.17)

У точці початку відліку координат при z_Д=0 та R=R_зд, прогин s і кут повороту нормалі умовно деформованої кромки ϑ мають найбільші значення. Тоді з (3.15) і (3.17) витікає, що в закладці
(3.18)

(3.19)

Зміна кута нахилу пружної осі в закладці мала і не перевищує 2". Тоді їм можна знехтувати і, прийнявши , з (3.19) знайти

(3.20)

З іншого боку, переміщення умовно деформованої кромки буде (див. рис. 3.5, а)

(3.21)

Підставляючи (3.20) і (3.21) в (3.18), перетворюючи і замінюючи β', D і ΔR їх значеннями з (3.16) і (3.14), отримаємо

(3.22)

Меридіальна розрахункова напруга (найбільша) у розтягнутих волокнах закладки визначається як сума напруги від розтягуючої сили і згинального моменту

(3.23)

Підставивши у (3.23) значення Т_М.зд у відповідності із (3.6) і М_зд із (3.22), отримаємо

(3.24)

Оскільки для сталі λ=1,65, знайдемо

(3.25)

Напругу в закладці овальних перерізів (рис. 3.5, б) визначають так же, але замість r₁ підставляють ρ₂ і замість R₀ величину R´₀

(3.26)

З розрахункових формул видно, що напруга залежить від розмірів перерізів ланок і співвідношень радіусів , тому товщина ланок при однаковій допустимій напрузі зменшується у міру зменшення розмірів перерізів. Застосовуючи для ланок різні за міцностю сталі, можна зробити вхідні перерізи і їх більш напружені частини товщими і навпаки.

Підвищена напруга виникає також при раптових змінах товщини ланок. Їх можна оцінити аналогічно тому, як це зроблено при розгляді переходу кромки ланки до статора. Кінцева формула має вигляд

(3.27)

Якщо прийняти переміщення кромки статора R_зд=0 і кут повороту його козирка ϑ=0, то вирази, отримані на підставі теорії оболонок, для напруги, що виникає у закладках, після підстановки чисельних значень μ і λ можуть бути приведені до виду

(3.28)

де q_зд- кут повороту кромки;

Вираз (3.28) відрізняється від (3.25) тільки останнім доданком, що стоїть дужках. Цей доданок має малу величину, тому практично можна користуватися рівнянням (3.25).

Теорія тонких оболонок дає можливість визначити напругу в овальних перерізах спіральної камери, що виникають при переході від одного радіусу кривизни ρ₁ до іншого ρ₂ (точка е) (рис. 3.5, б). Найбільше значення згинального моменту (на одиниці довжини кромки), у меридіанній площині визначається за формулою

(3.29)

де Т_к.Б і Т_к.А визначаються за формулами (3.9) і (3.11). Цей момент прикладений на відстані від точки е по контуру; γ₀ визначається так само, як γ_зд у формулі (3.28), але при відповідних точці е значеннях R, q і δ. Згинальний момент в кільцевому перерізі, що відповідає точці е, рівний

(3.30)

де μ=0,3 для сталі.

Якщо знехтувати невеликою радіальною силою, викликаною крайовим ефектом в точці е, то сила Т_м.А визначиться за формулою (3.8), а Т_м.Б - по (3.10). Тангенційну силу, що діє в кільцевому перерізі, що відповідає точці е, можна визначити

(3.31)

Сумарна напруга в розтягнутих і стиснених волокнах обчислюється за формулами

(3.32)

(3.33)

На основві теорії конічних тонких оболонок може бути визначена додаткова згинальна напруга, що виникає за наявності конічної перехідної частини в оболонці спіральної камери (рис. 3.5, в). Приблизно найбільша напруга, що відповідає закладці в статор, може бути оцінена за формулою

(3.34)

де

Тут р – тиск у камері; L - довжина конічної твірної; α=(90°-q) - кут нахилу конічної твірної.

За наявності на верхній частині камери ребер, зміцнюючих оболонку в місці сполучення із статором, жорсткість збільшується, і розрахунок напруги в закладках ведеться із урахуванням підвищеного моменту опору із припущенням, що ребра збільшують міцність оболонки рівномірно по довжині сполучення (метод "розмазування"). Форма такого перерізу – тавр (рис. 3.5, г) із шириною полиці, рівною кроку між ребрами t і висотою ребра h_рб в місці закладки, а площа перерізу F=t·δ+δ_рб·h_рб, де δ - товщина кромки ланки, δ_рб - товщина ребер.

Момент інерції цього перерізу визначається відносно нейтральній осі О-О, розташованої на відстані у₀ від основи

Звідси

Момент опору для розтягнутих зовнішніх волокон , а напруга відповідно до (3.23)

(3.35)

де Т_М.зд визначається за формулою (3.6), а М_М.зд – за (3.22).