Количество степеней свободы тел и механической системы. Обобщенные координаты.
Рассмотрим голономную механическую систему. Точки механической системы при совершении ею возможных перемещений получают перемещения аналогичные показанным на рис. 6.1. Подставим координаты каждой точки системы Мi и концов векторов возможных перемещений и в уравнения связей (6.6). Так как возможные перемещения удовлетворяют связям, то в результате таких подстановок эти уравнения будут выполнены. Запишем для первого возможного перемещения j-е уравнение связи после подстановки в него координат точек механической системы. Получим
, (6.10)
где – радиусы-векторы точек механической системы в момент времени t, – радиусы-векторы возможного перемещения точек системы в результате первого возможного перемещения. Разложим (6.10) в ряд Тейлора в окрестности невозмущенного положения системы. Членами более высоких порядков, чем линейные, пренебрежем. Запишем
(6.11)
Выражение (6.11) в силу (6.10) равно нулю, первое слагаемое в правой части в силу (6.6) также равно нулю. Учтем это, тогда получим для всех уравнений связей
. (6.12)
Совершенно аналогично для второго возможного перемещения можно проделать аналогичные выкладки и записать
. (6.13)
Последние слагаемые в соответствующих выражениях для первого (6.12) и второго (6.13) возможных перемещений суть одно и то же. Вычтем выражения (6.12) из выражений (6.3). Получим
.(6.14)
Выражения в квадратных скобках есть не что иное, как виртуальные перемещения точек механической системы
. (6.15)
Поэтому лучше переписать (6.14) через них
(6.16)
а все формулы (6.14), или, что, то же самое, (6.16), есть система линейных алгебраических уравнений относительно вариаций координат точек механической системы (6.15), выражающих виртуальное перемещение системы.
Из полученных результатов следует несколько важных выводов:
1. операция варьирования функций координат точек механической системы (6.16) совпадает с операцией дифференцирования (6.12) или (6.13), за исключением слагаемого, содержащего явно время;
2. для стационарных связей этого слагаемого не будет с самого начала, поэтому для таких связей, говорят, что множества возможных и виртуальных перемещений совпадают;
3. вариации декартовых координат точек механической системы в виду наложенных связей не являются независимыми, из уравнений (6.16) часть из них (l) может быть выражена через другую часть (3N-l), для этого матрица системы (6.16), которая называется Якобианом, должна иметь ранг, равный l
; (6.17)
4. в таких случаях говорят, что механическая система имеет s=3N-l степеней свободы;
5. зачастую вместо 3N декартовых координат для характеристики положения механической системы, используют s=3N-l каких-то других параметров, однозначно определяющих ее положение.
Для дальнейшего введем некоторые понятия.
Совокупность независимых между собой параметров, имеющих любую физическую или геометрическую природу, однозначно определяющих положение механической системы, называется обобщенными координатами.
Числом степеней свободы (ЧСС) системы называется число независимых виртуальных перемещений, которое имеет механическая система в данном положении.
Вместо подсчета числа степеней свободы по формуле s=3N-l обычно поступают иначе. Считают, сколько надо дополнительно наложить простых связей (ликвидирующих у системы одно простое движение – поступательное или вращательное), чтобы система перестала двигаться. Этот результат и даст число степеней свободы исходной механической системы. Иными словами для подсчета числа степеней свободы голономной системы надо:
1. представить МС в движении,
2. сделать мысленную остановку одного простого движения (поступательного или вращательного), при этом сложные движения твердых тел представляются совокупностью простых – поступательное состоит из двух взаимно перпендикулярных прямолинейных движений в плоском случае, и трех ‑ в пространственном, плоскопараллельное ‑ из поступательного и вращательного, сферическое из трех вращательных, пространственное – из поступательного и сферического,
3. если система в результате остановки простого движения остановится, то она имеет одну степень свободы, если нет, повторяем п.2,
4. число потребовавшихся таких мысленных остановок и даст ЧСС s.
В дальнейшем ЧСС будем обозначать буквой s, а совокупность обобщенных координат – вектором .
В предыдущем подразделе рассмотрена кинематика — раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с геометрической точки зрения, без учета масс и действующих на них сил. Кинематика базируется на завершенной системе аксиом евклидовой геометрии.
В основу кинетики, кроме уже известных аксиом кинематики, положены законы Ньютонаи принципы механики. Во многих практически важных случаях применение принципов механики позволяет получить более эффективные способы решения прикладных задач.
Лекция 7. Основные понятия и аксиомы кинетики.
В кинетике реальные физические тела — материальные объекты рассматриваются в виде моделей: материальной точки, абсолютно твердого тела, механической системы.
Материальные объекты в классической механике рассматриваются в пространстве и во времени, которые приняты абсолютными. Считается, что одно и то же механическое явление в одном и том же месте, но в разные моменты времени, протекает одинаково, и в реальном физическом пространстве механические явления не зависят ни от места их наблюдения, ни от направления движения материальных объектов. Геометрией такого пространства является евклидова геометрия. Такое пространство считается трехмерным, а каждой точке пространства соответствуют ее пространственные координаты, отвечающие принятой координатной системе.
Системой отсчета называют совокупность некоторой системы координат, жестко связанной с некоторым абсолютно твердым телом (телом отсчета), и некоторого устройства для измерения времени (часов).
Единицей измерения расстояния является: в системе СИ метр (м). Время измеряется в секундах (с). Системы отсчета могут быть либо неподвижными по отношению к некоторой одной системе, принимаемой условно за абсолютно неподвижную, либо двигаться произвольно по отношению к ней. Постулируется, что среди различных систем отсчета существует такая система отсчета, в которой изолированная материальная точка, т.е. точка, взаимодействием которой с окружающей средой можно пренебречь, может неограниченно долго находиться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения. Такую систему отсчета называют инерциальной илигалилеевой. Системы отсчета, не обладающие указанным свойством, называют неинерциальными. Примерами инерциальных систем являются: галактическая, с началом в центре масс нашей галактики и движущаяся поступательно вместе с ним; гелиоцентрическая, с началом в центре масс Солнца и движущаяся поступательно вместе с ним; геоцентрическая, с началом в центре масс Земли и движущаяся вместе с ней. Все эти системы имеют малое ускорение и могут считаться инерциальными лишь приблизительно. Ускорение в движении Земли очень мало и для подавляющего большинства инженерных задач она может считаться инерциальной.
Аксиомы кинетики.
Названия аксиом кинетики, использованные ниже, такие, как первая аксиома кинетики, вторая аксиома кинетики и т.д. не являются общепринятыми в механике, и используется здесь исключительно для удобства ссылок. Все аксиомы формулируются для инерциальных систем отсчета, критерий которых дает первая аксиома, называемая также первым законом Ньютона.