Обобщенные координаты системы

Пусть система состоит из Обобщенные координаты системы - student2.ru точек и, следовательно, ее положение в пространстве в каждый момент времени определяется Обобщенные координаты системы - student2.ru координатами точек системы, например декартовыми Обобщенные координаты системы - student2.ru .

Предположим, что на систему наложены голономные связи, уравнения которых в общем случае могут содержать и производные от координат точек, но после их интегрирования они свелись к геометрическим и имеют форму

Обобщенные координаты системы - student2.ru , Обобщенные координаты системы - student2.ru . (222)

Освобождающие связи, выражающиеся неравенствами, не рассматриваются. Таким образом, Обобщенные координаты системы - student2.ru координат связаны Обобщенные координаты системы - student2.ru уравнениями и независимых координат будет Обобщенные координаты системы - student2.ru .

Любые Обобщенные координаты системы - student2.ru декартовых координат можно задать независимо друг от друга. Остальные координаты определятся из уравнений связей. Вместо Обобщенные координаты системы - student2.ru независимых декартовых координат можно выбрать любые другие независимые параметры Обобщенные координаты системы - student2.ru , зависящие от всех или части декартовых координат точек системы. Эти независимые параметры, определяющие положение системы в пространстве, называются обобщенными координатами системы. В общем случае они могут зависеть от всех декартовых координат точек системы, т. е.

Обобщенные координаты системы - student2.ru , (223)

где Обобщенные координаты системы - student2.ru изменяется от 1 до Обобщенные координаты системы - student2.ru . Задание обобщенных координат полностью определяет положение точек системы относительно выбранной системы отсчета, например декартовых осей координат.

У свободной точки три обобщенные координаты. Если точка должна двигаться по заданной поверхности, то обобщенных координат только две и т.д. Используя уравнения связей (222) и выражения обобщенных координат через декартовы (223), можно выразить декартовы координаты через обобщенные, т.е. получить

Обобщенные координаты системы - student2.ru ,

Обобщенные координаты системы - student2.ru ,

Обобщенные координаты системы - student2.ru .

Соответственно, для радиуса-вектора каждой точки системы Обобщенные координаты системы - student2.ru , получим

Обобщенные координаты системы - student2.ru . (224)

В случае стационарных связей время явно не входит в уравнения связей. Для голономных систем вектор возможного перемещения точки Обобщенные координаты системы - student2.ru в соответствии с (224) можно выразить в форме

Обобщенные координаты системы - student2.ru . (225)

Система, имеющая Обобщенные координаты системы - student2.ru независимых обобщенных координат, характеризуется также Обобщенные координаты системы - student2.ru независимыми возможными перемещениями или вариациями Обобщенные координаты системы - student2.ru , если связи голономны. Для голономных систем число независимых возможных перемещений совпадает с числом независимых обобщенных координат. Следовательно, число степеней свободы голономной системы равно числу независимых обобщенных координат этой системы, т. е. Обобщенные координаты системы - student2.ru . Для неголономных систем в уравнения связей могут входить производные от декартовых координат точек и даже могут быть такие уравнения связей, в которые входят только одни производные. Такие уравнения связей наложат ограничения на вариации Обобщенные координаты системы - student2.ru , и, следовательно, уменьшат число независимых вариаций, не связывая функциональной зависимостью сами обобщенные координаты Обобщенные координаты системы - student2.ru . Число степеней свободы неголономной системы, равное числу независимых возможных перемещений, меньше числа обобщенных координат системы. В дальнейшем рассматриваются только голономные системы, т. е. системы с голономными связями.

Обобщенные силы

Запишем сумму элементарных работ сил, действующих на точки системы, на возможном перемещении системы:

Обобщенные координаты системы - student2.ru . (226)

Пусть голономная система имеет Обобщенные координаты системы - student2.ru степеней свободы и, следовательно, ее положение в пространстве определяется Обобщенные координаты системы - student2.ru обобщенными координатами Обобщенные координаты системы - student2.ru .

Подставляя (225) в (226) и изменяя порядок суммирования по индексам Обобщенные координаты системы - student2.ru и Обобщенные координаты системы - student2.ru , получим

Обобщенные координаты системы - student2.ru . (226')

где скалярная величина

Обобщенные координаты системы - student2.ru

называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате Обобщенные координаты системы - student2.ru . Используя известное выражение для скалярного произведения двух векторов, сообщенную силу можно также представить в виде

Обобщенные координаты системы - student2.ru , (227)

Обобщенные координаты системы - student2.ru – проекции силы на оси координат; Обобщенные координаты системы - student2.ru – координаты точки приложения силы.

Размерность обобщенной силы в соответствии с (226') следующим образом зависит от размерности Обобщенные координаты системы - student2.ru , совпадающей с размерностью Обобщенные координаты системы - student2.ru :

Обобщенные координаты системы - student2.ru , (228)

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы силы (энергии) или момента силы, деленной на размерность обобщенной координаты, к которой отнесена обобщенная сила. Из этого следует, что обобщенная сила может иметь размерность силы или момента силы.

Наши рекомендации