Питання з дисципліни «теорія автоматичного
КЕРУВАННЯ»
1. Визначення диференціальних рівнянь та передатних функцій ланок систем автоматичного керування.
Безинерционным звеном или усилительным звеном называется звено, в котором, как в установившемся, так и в переходных режимах, выходная величина воспроизводит без искажений и запаздываний входную величину. Переходный процесс для этого звена имеет вид:
Xвых(t)=k*Xвх(t)
Примерами Безинерционное звено и Усилительное звено могут служить жёсткий рычаг, механический редуктор и резистор.
Причём АФХ выражается действительным числом, поэтому её графическая интерпретация является точка, расположенная на оси действительных чисел, на расстоянии K от начала координат, т.е. сдвига по фазе между входной и выходной величинами нет.
Апериодическим звеном I-го порядка называется звено в котором при подаче на вход ступенчатого воздействия выходная величина апериодически (т.е. экспоненциальному закону) стремится к новому установившемуся значению. К апериодическим звеньям относят устройства в которых возможно накопление какого-либо вида энергии и её рассеивания. Связь между выходными и входными величинами для этого звена представлена на рис40:
Примером этого звена может служить электрический контур, содержащий электрическое сопротивление R и ёмкость C рис41:
Другим примером апериодического звена I-го порядка может служить напорный бак. При свободном истечении жидкости, если входной величиной считать изменение расхода на притоке, а выходной величиной - изменение уровня в баке.
Связь между выходным и входным звеном определяется дифференциальным уравнением:
T*d(xвых)/d(t) + Xвых =k*xвх
T-постоянная времени; k-коэффициент усиления звена
В операторной форме при нулевых начальных формах дифференциальное уравнение изменяется:
(Tp+1)*Xвых(p)=k*Хвх(p)
W(p)=Xвых(p)/Xвх(p)=k*(Tp+1)
Частотные характеристики для апериодического звена представлены на рис43-45
АФХ представляет собой полу окружность диаметром равным k.
Другим примером инерционное звено2-го порядка является энергетический контур (Рис.47).
Рис 47
В электрический контур входят индуктивность L, емкость С и активное сопротивление R. При подаче на вход контура входного напряжения Uвх в контуре происходит обмен электрической и магнитной энергией. Дифференциальное уравнение динамики для такого звена имеет вид:
Т12(d2xвых/dt2)+ Т2(dxвых/dt)+xвых=кхвх
На практике может быть использована другая форма записи:
Т12(d2xвых/dt2)+ αρТ(dxвых/dt)+xвых=кхвх
При этом Т - постоянная времени, причем Т=Т2 , а переход для определения Т1 осуществляется так
Т1 =2ρТ, при этом ρ выступает как показатель колебательности. В операторной форме последнее дифференциальное уравнение (Д.У) имеет вид:
[Т2р2+αρТр+1]Xвых(Р)=кХвх(Р)
передаточная функция будет иметь вид:
W(P)=Xвых/Хвх=1/[Т2р2+αρТр+1]
При подаче на вход звена единичного ступенчатого воздействия на его выходе мы получим колебательный переходный процесс(Рис 48,49).
Рис 48 Рис.49
В зависимости от вида корней И.З 2-го порядка можно разделить на следующие звенья:
1)апериодическое Зв. 2-го порядка
2)колебательное Зв. 2-го порядка
3)консервативное звено .
В зависимости от этого будут меняться и частотные характеристики звеньев. В этом случае если мы имеем вещественные корни, уравнение будет соответствовать двум экспоненциальным составляющим
(Рис 50)
Рис.50
Как видно из рис.50 переходная характеристика апериодической без колебаний. В случае если мы имеем пару комплексных корней, переходная характеристика будет иметь вид представленный на Рис49, и мы будем иметь колебательное звено.
В том случае, если корни является мнимыми, мы будем иметь, консервативное звено 2-го порядка (Рис.51)
Рис.51
Рассмотрим частотные характеристики этих звеньев, АЧХ представлены на рис.52
На рис 53 представлены ФЧХ.
Рис 53
1-Консервативное звено
2-Колебательное звено 2-го порядка
3- Апериодическое звено 2-го порядка
На рис 54 представлена АФХ:
Из Рис 52 видно что на частоте ώr
АЧХ для консервативного звена имеет разрыв. При этом фаза сдвигается на угол 180° и колебания выходной величины отстают от колебаний входной величины на половину периода. При проектировании САУ в обязательном порядке необходимо учитывать эти обстоятельства.
Интегрирующим называется звено, в котором выходная величина пропорциональна во времени интегралу от входной величины:
Хвых(t)=k/t∫t0 xвхdt, где к- коэффициент. усиления; Т- время интегрирования.
Подавая на вход ИЗ возмущающее воздействие в виде ступенчатой функции получим уравнение определяющее характер переходного процесса.
хвых(t)=(k/t) хвхt, при хвх=const=1:
Примером ИЗ может служить гидравлический исполнительный двигатель. При этом входной величиной будет количество жидкости подаваемой в цилиндр, а выходной – движение поршня.
ИЗ создает при всех «+» частотах отставание выходной величины на 90 по сравнению с входной. Амплитуда выходной величины тем меньше, чем больше частота. АФХ совпадает с осью мнимых в «-» её части.
ДЗ называется звено, в котором выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины, т.е. пропорциональна ее производной.
Различают реальное и идеальное ДЗ.
Идеальное ДЗ: хвых=Кdxвх/dt, где К - коэффициент усиления ДЗ. В операторной форме: Хвых(Р)=КрХвх(Р), W(P)=Xвых(Р)/Хвх(Р)=Кр.
При подаче на вход звена единичного ступенчатого воздействия на его выходе получим мгновенный выходной импульс, имеющий теоретически ББ амплитуду, соответствующую ББ скорости изменения входной величины в момент подачи единичной ступенчатой функции.
Характерная особенность ДЗ: создает опережение выходящей величины на 90.
АФХ ДЗ совпадает с осью мнимых при увеличении омега от 0 до бесконечности.
На практике мы имеем дело чисто с реальными ДЗ. Для реального ДЗ АФХ:
Примером идеального ДЗ может служить тахометрический генератор. При скачкообразном изменении угла поворота переходный процесс происходит мгновенно в виде импульса напряжения теоретически бесконечной амплитуды(э.д.с. якоря):
Примером реального ДЗ –цепочка из R, C элементов.
Запаздывающим звеном называется звено, в котором выходная величина воспроизводит изменение входной величины без искажений, но с некоторым постоянным запаздыванием: xвых= xвх (t-τ),
где τ-время запаздывания. Примером ЗЗ может служить конвейер, который загружается с одного конца, а измерение нагрузки производится конвейерными весами, находящимися на некотором расстоянии от пункта нагрузки.
Выражение связывающее операторное изображение выходных и входных величин имеет вид:
Xвых= Xвх (p)·e-τ·p; W(p)= Xвых (p)/ Xвх (p)=e-τ·p.
На рис. приведена АФХ ЗЗ: при изменении ω от 0 до ∞ вектор АФХ вращается по часовой стрелке, не меняя своей длины. Т.о. АФХ ЗЗ представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом =1. С помощью ЗЗ могут быть интерпретированы объекты автоматического управления и отдельные элементы САУ.
2. Побудова частотних характеристик ланок систем автоматичного керування.
3. Перетворення структурних схем систем автоматичного керування.